第3章三角函数、解三角形第7讲A组基础关1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°答案D解析由题意可知∠ACD＝40°，∠DCB＝60°. 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA. ∠ACD＝40°，∠DCB＝60°，∴∠CAB＝∠CBA＝×(180°－40°－60°)＝40°. ∠BCD＝60°，∠CDB＝90°，∴∠CBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBA＝40°－30°＝10°.故灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案D解析知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案①③可以确定A，B间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案②可以确定A，B间的距离．3．(2019·东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.akmC．2akmD.akm答案D解析由图可知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，1在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2·＝3a2.所以AB＝a，即灯塔A与灯塔B的距离为akm.4．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为()A．30mB．60mC．30mD．40m答案B解析在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．过点A作AN⊥CD于点N，如图所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40×sin60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60m.5．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内(含450km)的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A．10hB．15hC．10hD．20h答案B解析记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15.6．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20nmile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________nmile/min.()A.B.C．3D．102答案A解析由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(nmile/min)．7．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5B．15C．5D．15答案D解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.8．(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.答案－1解析由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.在△ABD中，根据正弦定理可得＝，即＝，所以BD＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－)．在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BCD＝－1.所以cosθ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝－1.B组能力关1．如图所示，为了了解某海...
