【优化课堂】2012高中数学-第二章-2.1.1-曲线与方程课件-新人教A版选修2-1VIP专享VIP免费

第二章圆锥曲线与方程2．1曲线与方程2．1．1曲线与方程1．结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系．2．了解数与形结合的基本思想．1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解之间建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做________________；这条曲线叫做______________．2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充要条件是______________．曲线的方程方程的曲线f(x0，y0)＝0【要点1】如何理解曲线的方程与方程的曲线？【剖析】“曲线的方程”概念强调的是图形所满足的数量关系，而“方程的曲线”所强调的是数量关系表示的图形，它们的概念不同，侧重点也不同．【要点2】如何证明—曲线C的方程为F(x，y)＝0?【剖析】①以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线C上；②曲线C上的坐标都是方程F(x，y)＝0的解．题型1曲线与方程的概念例1：证明圆心为坐标原点，半径等于2的圆的方程是x2＋y2＝4，并判断点M1(1，－2)，M2(－3，1)是否在这个圆上．思维突破：点在曲线上等价于点的坐标满足曲线方程．自主解答：(1)设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于2，所以x20＋y20＝2，也就是x20＋y20＝4，即(x0，y0)是方程的解．(2)设(x0，y0)是方程x2＋y2＝4的解，那么x20＋y20＝4，两边开方取算术根，得x20＋y20＝2，即点M(x0，y0)到原点的距离等于2，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由(1)(2)可知，x2＋y2＝4是圆心为坐标原点，半径等2的圆的方程．把点M1(1，－2)的坐标代入方程x2＋y2＝4，左右两边不相等，所以点M1不在这个圆上；把点M2(－3，1)的坐标代入方程x2＋y2＝4，左右两边相等，所以点M2在这个圆上．【变式与拓展】1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，求证：动点P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4.证明：(1)设点P的坐标是(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得x＋22＋y2＝2x－12＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4.(2)设点M(x0，y0)的坐标满足方程(x－2)2＋y2＝4，即(x0－2)2＋y20＝4，则(x0＋2)2＋y20＝4[(x0－1)2＋y20]．∴x0＋22＋y20＝2x0－12＋y20，即|MA|＝2|MB|.由(1)(2)可知，动点P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4.题型2曲线和方程关系的应用例2：若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．思维突破：点a，－a在曲线上→a，－a适合方程→分离参数k→求值域，得k的范围自主解答：∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2a＋122＋12.∴k≤12.∴k的取值范围是－∞，12.(1)点在曲线上，点的坐标就是曲线方程的解，满足方程，代入后，对参数讨论求解．(2)注意所给曲线方程中两个变量的范围以防所求参数不正确．【变式与拓展】2．方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N32，n在曲线C上，求m，n的值．解：∵M(m，2)，N32，n在曲线C上，∴m2(m2－1)＝2×1，34×－14＝n2(n2－1)，即m4－m2－2＝0,16n4－16n2＋3＝0.解得m＝±2，n＝±12或n＝±32.