常考问题7平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50分钟)1．(·苏州期中)已知向量a＝(2，x)，b＝(x－1,1)，若a∥b，则x的值为________．解析由a∥b，得2－x(x－1)＝0，解得x＝2或－1.答案2或－12．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝则|b|等于________．解析向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则a·b＝|a||b|·cos120°＝－|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.答案43．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为________．解析因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3.所以|c|＝.又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－，设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.答案150°4．(·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC中，已知AB·AC＝4，AB·BC＝－12，则|AB|＝________.解析将AB·AC＝4，AB·BC＝－12两式相减得AB·(AC－BC)＝AB2＝16，则|AB|＝4.答案45．(·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.解析由题意知：AE·BD＝(AD＋DE)·(AD－AB)＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AD·AB－AB2＝4－0－2＝2.答案26．(·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是________．解析由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，知cos∠AOB＝，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由OP＝λOA＋μOB，可得⇒因为|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，当由可行域可得S0＝×2×＝，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4.答案47．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则AM·AN的最大值是________．解析由数量积的定义，得AM·AN＝|AM|·|AN|·cos∠NAM，当N点与C点重合时，|AN|cos∠NAM最大，解三角形得最大值为，所以AM·AN的最大值是6.答案68．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为______．解析建立如图所示的直角坐标系，设DC＝m，P(0，t)，t∈[0，m]，由题意可知，A(2,0)，B(1，m)，PA＝(2，－t)，PB＝(1，m－t)，PA＋3PB＝(5,3m－4t)，|PA＋3PB|＝≥5，当且仅当t＝m时取等号，即|PA＋3PB|的最小值是5.答案59．(·南通模拟)已知a＝(sinα，sinβ)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．(1)若b∥c，求tanα·tanβ的值；(2)求a2＋b·c的值．解(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，∴3cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，∵α，β≠kπ＋(k∈Z)，∴tanαtanβ＝－3.(2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1.10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝，求△ABC的面积．(1)证明因为m∥n，所以asinA＝bsinB，即a·＝b·(其中R是△ABC外接圆的半径)，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．(2)解由题意，可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab，由余弦定理，知4＝c2＝a2＋b2－2abcos＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4或ab＝－1(舍去)．所以S△ABC＝absinC＝×4×sin＝.11．(·苏北四市模拟)如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求OA·OQ＋S的最大值；(2)若CB∥OP，求sin的值．解(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cosθ，sinθ)，因为四边形OAQP是平行四边形，所以OQ＝OA＋OP＝(1,0)＋(cosθ，sinθ)＝(1＋cosθ，sinθ)．所以OA·OQ＝1＋cosθ.又平行四边形OAQP的面积为S＝|OA|·|OP|sinθ＝sinθ，所以OA·OQ＋S＝1＋cosθ＋sinθ＝sin＋1.又0<θ<π，所以当θ＝时，OA·OQ＋S的最大值为＋1.(2)由题意，知CB＝(2,1)，OP＝(cosθ，sinθ)，因为CB∥OP，所以cosθ＝2sinθ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sinθ＝，cosθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝.所以sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝.备课札记：s
