第3讲等比数列及其前n项和A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝()．A.B.C.D.解析在等比数列{an}中a＝a3a5，又a4＝a3a5，所以a4＝1，故q＝，所以a7＝.答案B2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝()．A．4·nB．4·nC．4·n－1D．4·n－1解析(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，a1＝4，q＝，∴an＝4·n－1.答案C3．(·泰安模拟)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝()．A．2B.C．2或D．3解析 2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.答案A4．(·江西盟校二模)在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝()．A．8B．15(＋1)C．15(－1)D．15(1－)解析 a2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)．答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·广州综合测试)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，则n的值为________．解析因为an＝a1qn－1且a1＝1，q＝2，所以64＝26＝1×2n－1，所以n＝7.答案76．(·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.解析根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9＞0⇒a1＞0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10＞0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.答案2n三、解答题(共25分)7．(12分)(·长春调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明 an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，∴＝2，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.(2)解 4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，∴4b1＋b2＋b3…＋＋bn－n＝2n2，∴2(b1＋b2＋b3…＋＋bn)－2n＝n2，即2(b1＋b2＋b3…＋＋bn)＝n2＋2n，∴Sn＝b1＋b2＋b3…＋＋bn＝n2＋n.8．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)证明 an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝. 首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．(2)解由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·全国)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()．A．2n－1B.n－1C.n－1D.解析当n＝1时，a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，解得3an＝2an＋1，∴＝.又 S1＝2a2，∴a2＝，∴＝，∴{an}从第二项起是以为公比的等比数列，∴an＝∴Sn＝n－1.答案B2．(·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2…＋＋log3a7)的值为()．A.B.C．1D．－解析因为a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3.log3a1＋log3a2…＋＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2…＋＋log3a7)＝.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．解析由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝3…，，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n，∴Sn＝＋2＋3…＋＋n＝＝1－n， n∈N*，∴≤Sn<1.答案4．(·苏州二模)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列为等比...
