第2讲分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1．过双曲线－＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则PR·PQ的值为()．A．a2B.b2C．2abD.a2＋b2解析当直线PQ与x轴重合时，|PR|＝|PQ|＝a，故选A.答案A2．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B.(∞－，－1)∪(1∞，＋)C．(－1,0)∪(1∞，＋)D.(∞－，－1)∪(0,1)解析若a＞0，则log2a＞loga，即2log2a＞0，所以a＞1；若a＜0，则log(－a)＞log2(－a)，即2log2(－a)＜0，所以0＜－a＜1，－1＜a＜0.所以实数a的取值范围是a＞1或－1＜a＜0，即a∈(－1,0)∪(1∞，＋)．答案C3．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()．A．(∞－，2]B.[－2,2]C．(－2,2]D.(∞－，－2)解析当a－2＝0即a＝2时，不等式为－4＜0恒成立，所以a＝2；当a－2≠0时，则a满足解得－2＜a＜2，所以a的范围是(－2,2]．答案C4．在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5.点D是边BC上的动点，AD＝xAB＋yAC，当xy取最大值时，|AD|的值为()．A．4B.3C.D.解析 |AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5，∴△ABC为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，设D(a，b)，由AD＝xAB＋yAC，得∴xy＝.又 D在直线lBC：＋＝1上，∴＋＝1，≥则＋2∴≤，即xy≤，此时a＝，b＝2，|AD|＝＝.答案C二、填空题5．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则它的通项公式an＝________.解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足式子an＝2×3n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.答案2×3n－16.(·盐城调研)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．解析，△DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半，三棱锥F－DED1的高即为正方体的棱长，所以＝×DD1×AD×AB＝.答案7．方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围是________．解析求k＝－sin2x－cosx的值域．k＝cos2x－cosx－1＝(cosx－)2－.当cosx＝时，kmin＝－，当cosx＝－1时，kmax＝1，∴≤－k≤1.答案8．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)≤则＝＝1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.答案1三、解答题9．已知函数f(x)＝2asin2x－2asinxcosx＋a＋b(a≠0)的定义域是，值域是[－5,1]，求常数a，b的值．解f(x)＝2a·(1－cos2x)－asin2x＋a＋b＝－2a＋2a＋b＝－2asin＋2a＋b，又 0≤x≤，∴≤2x≤＋π，∴≤－sin≤1.因此，由f(x)的值域为[－5,1]可得或解得或10．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－.(1)求f(x)的极小值；(2)若a，b＞0，求证：lna－lnb≥1－.(1)解f′(x)＝－＝(x＞－1)．令f′(x)＝0，得x＝0.列表如下x(－1,0)0(0∞，＋)f′(x)－0＋f(x)极小值由上表可知，x＝0时f(x)取得极小值f(0)＝0.(2)证明在x＝0时，f(x)取得极小值，而且是最小值，于是f(x)≥f(0)＝0，从而ln(1＋x)≥在x＞－1时恒成立，令1＋x＝＞0，则＝1－＝1－，∴lna－lnb＝ln≥1－.因此lna－lnb＝ln≥1－在a＞0，b＞0时成立．∴lna－lnb≥1－.11．设F1，F2分别是椭圆D∶＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.(1)求椭圆D的方程．(2)作直线l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为(－a,0)，若点N(0，t)是线段PQ垂直平分线上的一点，且满足NP·NQ＝4，求实数t的值．解(1)设F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)，其中c＞0，由题意得AB的方程为：y＝(x－c)．因F1到直线AB的距离为3，所以有＝3.解得c＝.所以有a2－b2＝c2＝3.①由题意知：×2a×2b＝4，即ab＝2.②联立①②解得：a＝2，b＝1.所求椭圆D的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知：P(－2,0)，设Q(x1，y1)，当直线l的斜率不存在时，由已知显然不合要求．当直线l的斜率存在时，设直线斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.由根...
