第5讲空间向量及其运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案A2．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直解析由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点．ABCD.∴∥答案B3．(·济南月考)O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点()A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断解析因为OP＝OA＋OB＋OC，且＋＋＝1.所以P，A，B，C四点共面．答案B4．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－C.D．2解析由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.答案D5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B.a2C.a2D.a2解析如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE＝(a＋b)，AF＝c，∴AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.答案C二、填空题6．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．解析 a，b，c共面，且显然a，b不共线，∴c＝xa＋yb，∴由①②解得代入③得λ＝.答案7．在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析OE＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋×(OB－OA＋OC－OA)＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.答案a＋b＋c8．A，B，C，D是空间不共面四点，且AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．解析因为BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2＞0，所以∠CBD为锐角．同理∠BCD，∠BDC均为锐角．答案锐角三、解答题9．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．解(1) c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，|∴c|＝＝3|m|＝3，m∴＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)．(2) a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又 |a|＝＝，|b|＝＝，cos∴〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.10.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D.证明(1)CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1，可以证明：CG＝(CB＋CD＋CC1)＝CA1，∴CG∥CA1，即A1，G，C三点共线．(2)设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0， CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，因此CA1⊥BC1，即CA1BC1⊥，同理CA1BD⊥，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C⊥平面BC1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则()A．c∥dB．c⊥dC．c不平行于d，c也不垂直于dD．以上三种情况均有可能解析由题意得，c垂直于由a，b确定的平面． d＝λa＋μb，∴d与a，b共面．∴c⊥d.答案B12．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a...
