限时集训(二十八)平面向量的数量积及平面向量的应用(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．102．(·湖北高考)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B.C.D.3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝()A．2B.C.－D.4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的射影的数量是()A．－4B．4C．－2D．25．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为()A．－4＋B．－3＋C．－4＋2D．－3＋26．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.8．(·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．9．(·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．11.已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sinA)，n＝(1，－sinA)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．12．已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)．设m＝a＋tb(t为实数)．(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．答案限时集训(二十八)平面向量的数量积及平面向量的应用1．B2.C3.D4.A5.D6.C7．18.119.1810．解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.∴λ>－.当a与a＋λb共线时，存在实数m，使λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线，综上可知，λ>－且λ≠0.11．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.∴3cos2A－1＋cos2A＝0，∴cos2A＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝，∴A＝.(2)由(1)可得m＝，n＝.∴|AB―→|＝p，||＝q.∴S△ABC＝||·||·sinA＝pq.又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，∴·≤，∴·≤3.∴p·q≤9.∴△ABC面积的最大值为×9＝.12．解：(1)因为α＝，所以b＝，a·b＝，则|m|＝＝＝＝，所以当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为.(2)存在满足题意的实数t，由条件得cos＝，又因为|a－b|＝＝，|a＋tb|＝＝，(a－b)·(a＋tb)＝5－t，则有＝，且t<5，整理得t2＋5t－5＝0，所以存在t＝满足条件．
