限时集训(七十二)直线与圆的位置关系(限时：40分钟满分：50分)1.(满分10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的圆O交AC于点D，连结OD，并延长交BA的延长线于点E，圆O的切线DF交EB于F.(1)证明：AF＝BF；(2)若ED＝8，sinE＝，求OC的长．2．(满分10分)如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B、C两点，圆O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．3．(满分10分)(·宿迁模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：(1)∠AED＝∠AFD；(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.4．(满分10分)(·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.5．(满分10分)如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D.(1)求证：AC2＝AP·AD；(2)如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为弧的中点，求AD的长．答案限时集训(七十二)直线与圆的位置关系1．解：(1)证明：连结BD，则∠BDC＝90°，由DF是切线，得FB＝FD，∠FDO＝∠EDF＝90°，∵∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BCD＝90°，∠BAD＋∠BCD＝90°.∴∠FDA＝∠BAD.∴FA＝FD，∴AF＝BF.(2)sinE＝＝，＝，OC＝32.2．解：(1)证明：连结OP、OM.因为AP与圆O相切，所以OP⊥AP.因为M是圆的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)由(1)，得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)，得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.3．证明：(1)连结AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠EFA＝90°，则A、D、E、F四点共圆．∴∠DEA＝∠DFA.(2)由(1)知，BD·BE＝BA·BF.连结BC，显然△ABC∽△AEF，∴＝.即AB·AF＝AE·AC.∴BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB(BF－AF)＝AB2.4．证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而＝，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论，AC＝AE.5．解：(1)证明：连结BP.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∠ACB＝∠APB，∴∠ABC＝∠APB.∴△ABP∽△ADB.∴＝，即AB2＝AP·AD.∵AB＝AC，∴AC2＝AP·AD.(2)∵∠ABC＝60°且AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵P为弧AC的中点．∴∠ABP＝∠PAC＝30°.∴∠BAP＝90°.∴BP是⊙O的直径．∴BP＝2.∴AP＝BP＝1.在Rt△PAB中，AB2＝BP2－AP2＝3，∴AD＝＝3.
