高考数学一轮复习限时集训(五十七)直线与圆锥曲线理新人教A版VIP免费

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2024-10-08 发布于山西
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限时集训(五十七)直线与圆锥曲线(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()A．k>－B．k或k<－D．－b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()A.B.－1C.D.－14．(·温州模拟)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则||为()A.B.C.pD.p5．(·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条6．(·绍兴模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．8．一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线x2＝4y上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为________．9．(·重庆高考)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.答案限时集训(五十七)直线与圆锥曲线1．D2.B3.D4.B5.C6.B7．x＋2y－8＝08.y＝－19.10．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.11．解：(1)设抛物线C的方程为y2＝2mx，由得2y2＋my－20m＝0.∵Δ>0，∴m>0或m<－160.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝－，∴x1＋x2＝＋＝10＋.再设A(x3，y3)，由于△ABC的重心为F，则解得∵点A在抛物线上，∴2＝2m.∴m＝8，抛物线C的方程为y2＝16x.(2)证明：当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴kPOkOQ＝－1，设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∴xPxQ＋yPyQ＝0.将直线y＝kx＋b代入抛物线方程，得ky2－16y＋16b＝0，∴yPyQ＝.从而xPxQ＝＝，∴＋＝0.∵k≠0，b≠0，整理得b＝－16k.∴直线PQ的方程为y＝kx－16k，PQ过点(16,0)；当PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又PO⊥OQ，∴△POQ为等腰三角形．由得P(16,16)，Q(16，－16)，此时直线PQ过点(16,0)，∴直线PQ恒过定点(16,0)．12．解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有＋＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)得kAP＝，kBP＝.由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)证明：法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝.②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>.法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x3，所以|k|>.

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