限时集训(五十三)椭圆(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(·上海高考)对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知椭圆：＋＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．以上均不对3．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为()A．2B．2C．4D．44．(·汕尾模拟)已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．155．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是()A．内切B．相交C．相离D．无法确定6．(·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．8．(·江西高考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点．若＝3，则k＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．11.已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．12．(·重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．答案限时集训(五十三)椭圆1．B2.C3.D4.B5.A6.C7.8.9.10．解：设两焦点为F1，F2，且|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆定义知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝.由|PF1|>|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2＝＝.可求出∠PF1F2＝，2c＝|PF1|·cos＝，从而b2＝a2－c2＝.所以所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.11．解：(1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b>0)，右焦点为F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－＋16＝－，由PB2⊥QB2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
