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高中数学 分类突破赢高考5VIP免费

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备战数学分类突破赢高考51.(·温州八校联考)已知函数f(x)=ex+2x2-3x.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;(2)当x≥时,若关于x的不等式f(x)≥x2+(a-3)x+1恒成立,试求实数a的取值范围.解:(1)f′(x)=ex+4x-3,则f′(1)=e+1,又f(1)=e-1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e+1=(e+1)(x-1),即(e+1)x-y-2=0.(2)由f(x)≥x2+(a-3)x+1,得ex+2x2-3x≥x2+(a-3)x+1,即ax≤ex-x2-1.∵x≥,∴a≤令g(x)=.则g′(x)=.令φ(x)=ex(x-1)-x2+1,则φ′(x)=x(ex-1).∵x≥,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在上单调递增,∴φ(x)≥φ=->0,因此g′(x)>0,故g(x)在上单调递增,则g(x)≥g==2-.∴a的取值范围是.2.经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M交于点B、C.(1)求轨迹M的方程;(2)证明:∠BAD=∠CAD;(3)若点D到直线AB的距离等于|AD|,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.解:(1)法一:设动圆圆心为(x,y),依题意得,=|y+1|.整理,得x2=4y.所以轨迹M的方程为x2=4y.法二:设动圆圆心为P,依题意得点P到定点F(0,1)的距离和点P到定直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,动点P的轨迹是抛物线.且其中定点F(0,1)为焦点,定直线y=-1为准线.所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)得x2=4y,即y=x2,则y′=x.设点D,由导数的几何意义知,直线l的斜率为kBC=x0.由题意知点A,设点C,B,则kBC===x0,即x1+x2=2x0.因为kAC==,kAB==,所以kAC+kAB=+==0,即kAC=-kAB.所以∠BAD=∠CAD.(3)法一:由点D到AB的距离等于|AD|,可知∠BAD=45°.不妨设点C在AD上方,即x2

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