备战数学分类突破赢高考51．(·温州八校联考)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(x))处的切线方程；(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝ex＋4x－3，则f′(1)＝e＋1，又f(1)＝e－1，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＋1＝(e＋1)(x－1)，即(e＋1)x－y－2＝0.(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，即ax≤ex－x2－1.∵x≥，∴a≤令g(x)＝.则g′(x)＝.令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．∵x≥，∴φ′(x)>0，∴φ(x)在上单调递增，∴φ(x)≥φ＝－>0，因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，则g(x)≥g＝＝2－.∴a的取值范围是.2．经过点F(0,1)且与直线y＝－1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C.(1)求轨迹M的方程；(2)证明：∠BAD＝∠CAD；(3)若点D到直线AB的距离等于|AD|，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．解：(1)法一：设动圆圆心为(x，y)，依题意得，＝|y＋1|.整理，得x2＝4y.所以轨迹M的方程为x2＝4y.法二：设动圆圆心为P，依题意得点P到定点F(0,1)的距离和点P到定直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线．且其中定点F(0,1)为焦点，定直线y＝－1为准线．所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x2＝4y.(2)证明：由(1)得x2＝4y，即y＝x2，则y′＝x.设点D，由导数的几何意义知，直线l的斜率为kBC＝x0.由题意知点A，设点C，B，则kBC＝＝＝x0，即x1＋x2＝2x0.因为kAC＝＝，kAB＝＝，所以kAC＋kAB＝＋＝＝0，即kAC＝－kAB.所以∠BAD＝∠CAD.(3)法一：由点D到AB的距离等于|AD|，可知∠BAD＝45°.不妨设点C在AD上方，即x2
