第四节数学归纳法数学归纳法考向聚焦在高考中一般不单独命题,而作为解答题的工具与不等式、数列等结合在一起综合考查,试题难度较大,分值12分左右备考指津利用数学归纳法证明时,要特别注意由k到k+1的推证方法.在运用归纳假设时,应分析P(k)与P(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放缩等手段,或从归纳假设出发,或从P(k+1)中分离出P(k),再进行局部调整,“”也可寻求两者的结合点,以使问题得证1.(年湖南卷,理22)已知函数f(x)=x3,g(x)=x+.(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;(2)设数列{an}(n∈N*)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N*,都有an≤M.(1)解:由h(x)=x3-x-知,x∈[0,+∞),而h(0)=0,且h(1)=-1<0,h(2)=6->0,则x=0为h(x)的一个零点,且h(x)在(1,2)内有零点,因此h(x)至少有两个零点.由h(x)=x(x2-1-),记(x)=x2-1-,则'(x)=2x+,当x∈(0,+∞)时,'(x)>0,从而(x)在(0,+∞)上单调递增,则(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)内也至多只有一个零点.综上所述,h(x)有且只有两个零点.(2)证明:记h(x)的正零点为x0,即=x0+.①当a
