14.3.2对数的运算知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，(2)logaMN＝logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．状元随笔对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二对数换底公式logab＝logcblogca(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)．特别地：logab·logba＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔对数换底公式常见的两种变形(1)logab·logba＝1，即1logab＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数.(2)logNnMm＝mnlogNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb.所以x＝logcblogca，即logab＝logcblogca.[基础自测]1．下列等式成立的是()A．log2(8－4)＝log28－log242B.log28log24＝log284C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C2.log49log43的值为()A.12B．2C.32D.92解析：原式＝log39＝2.答案：B3．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C4．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________．解析：log32＝ln2ln3＝ab.答案：ab题型一对数运算性质的应用[教材P124例3]例1求下列各式的值：(1)lg5100；(2)log2(47×25)．【解析】(1)lg5100＝lg10015＝15lg100＝25；(2)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log223＝7×2＋5×1＝19.利用对数运算性质计算．教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1(1)计算：lg52＋2lg2－12－1＝________.(2)求下列各式的值．①log53＋log513②(lg5)2＋lg2·lg50③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解析：(1)lg52＋2lg2－12－1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log53＋log513＝log53×13＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg823＋lg102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1(2)见解析利用对数运算性质化简求值．题型二对数换底公式的应用[经典例题]4例2(1)已知2x＝3y＝a，1x＋1y＝2，则a的值为()A．36B．6C．26D.6(2)计算下列各式：①log89·log2732.②2lg4＋lg5－lg8－3382-3.③6413＋lg4＋2lg5.【解析】(1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以1x＋1y＝1log2a＋1log3a＝loga2＋loga3＝loga6＝2，所以a2＝6，解得a＝±6.又a＞0，所以a＝6.(2)①log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.②2lg4＋lg5－lg8－3382-3＝lg16＋lg5－lg8－132782＝lg16×58－1322＝1－49＝59.③6413＋lg4＋2lg5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】(1)D(2)见解析状元随笔1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小5越便于化简，如an为底的换为a为底．(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝mnlogab.跟踪训练2(1)式子log916·log881的值为()A.18B.118C.83D.38(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于()A.56B.2512C.94D．以上都不对解析：(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·43log23＝83.(2)原式＝log33log34＋log33log38·log32...
