7．2向量的应用举例(一)课时目标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔______________________．(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔__________⇔______________________________．(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝__________＝________________________________________________________________________．(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝__________．一、选择题1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．2B．C．3D．2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形4．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC＝λCE，其中λ等于()A．2B．C．－3D．－5．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0且·＝，则△ABC的形状是()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等边)三角形D．等边三角形6．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心二、填空题7．已知边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a＋b＋c|＝________．8．已知|a|＝2，|b|＝4，a与b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．9．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5．则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝________________________________________________________________________．10．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状一定是______．三、解答题11．求证：△ABC的三条高线交于一点．12．P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF．能力提升13．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则BC·AO＝________．14．已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．7．2向量的应用举例(一)答案知识梳理(1)a＝λbx1y2－x2y1＝0(2)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0(3)(4)作业设计1．B[BC中点为D(，6)，AD＝(－，5)，∴|AD|＝．]2．D[ OA·OB＝OB·OC．∴(OA－OC)·OB＝0．∴OB·CA＝0．∴OB⊥AC．同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O三条高的交点．]3．B[ |OB－OC|＝|CB|＝|AB－AC|，|OB＋OC－2OA|＝|AB＋AC|，∴|AB－AC|＝|AB＋AC|，∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°．∴△ABC是直角三角形．]4．C[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，∴＝3，∴BC＝－3CE．]5．D[由·BC＝0，得角A的平分线垂直于BC．∴AB＝AC．而·＝cos〈AB，AC〉＝，又〈AB，AC〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°．故△ABC为正三角形，选D．]6．C[如图， NA＋NB＋NC＝0，∴NB＋NC＝－NA．依向量加法的平行四边形法则，知|NA|＝2|ND|，故点N为△ABC的重心． PA·PB＝PB·PC，∴(PA－PC)·PB＝CA·PB＝0．同理AB·PC＝0，BC·PA＝0，∴点P为△ABC的垂心．由|OA|＝|OB|＝|OC|，知点O为△ABC的外心．]7．2解析注意|AC|＝|c|＝1，而a＋b＝c，∴|a＋b＋c|＝|2c|...
