§2空间向量的运算课时目标1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，能用向量的数量积判断向量共线与垂直．1．空间向量的加法设a和b是空间两个向量，如图，过点O作OA＝a，OB＝b，则平行四边形的对角线OC对应的__________就是a与b的和，记作________．2．空间向量的减法a与b的差定义为__________，记作__________，其中－b是b的相反向量．3．空间向量加减法的运算律(1)结合律：(a＋b)＋c＝____________.(2)交换律：a＋b＝__________.4．数乘的定义空间向量a与实数λ的乘积是一个______________，记作________．(1)|λa|＝________.(2)当________时，λa与a方向相同；当________时，λa与a方向相反；当________时，λa＝0.(3)交换律：λa＝________(λ∈R)．(4)分配律：λ(a＋b)＝__________.(λ＋μ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)．(5)结合律：(λμ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)．5．空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得____________．6．空间向量的数量积：空间两个向量a和b的数量积是________，等于______________，记作__________．7．空间向量的数量积的运算律(1)交换律：a·b＝__________；(2)分配律：a·(b＋c)＝__________；(3)λ(a·b)＝____________(λ∈R)．8．利用空间向量的数量积得到的结论(1)|a|＝____________；(2)a⊥b____________；(3)cos〈a，b〉＝____________(a≠0，b≠0)．一、选择题1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式DD1－AB＋BC化简后的结果是()A.BD1B.D1BC.B1DD.DB12．四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB＋(BD＋BC)化简的结果是()A.AMB.BMC.CMD.DM3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2OA＋OB＋OC＝0，则AO等于()A.OBB.OCC.ODD．2OD4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则AE·CF等于()A．0B.C．－D．－6.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6B．6C．12D．144题号123456答案二、填空题7．在正四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝__________________(用a，b，c表示)．8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.9．在△ABC中，有下列命题：①AB－AC＝BC；②AB＋BC＋CA＝0；③若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号)三、解答题10.如图，已知在空间四边形OABC中，|OB|＝|OC|，|AB|＝|AC|.求证：OA⊥BC.11.如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：C1C⊥BD.能力提升12．平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于()A.B.C.D.13.已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.(1)求AC′的长(如图所示)；(2)求AC′与AC的夹角的余弦值．1．空间向量的加减法运算及加减法的几何意义和平面向量的是相同的．2．空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，这里〈a，b〉表示空间两向量所组成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥ba·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cosθ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．§2空间向量的运算知识梳理1．向量OCa＋b2．a＋(－b)a－b3．(1)a＋(b＋c)(2)b＋a4．向量λa(1)|λ||a|(2)λ>0λ<0λ＝0(3)aλ(4)λa＋λbλa＋μa(5)λ(μa)5．a＝λb6．一个数|a||b|cos〈a，b〉a·b7．(1)b·a(2)a·b＋a·c(3)(λa)·b8．(1)(2)a·b＝...
