习题课空间向量的应用一、基础过关1．如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.2．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值．3．如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．二、能力提升4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．5．等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE(如图所示)．(1)求证：平面ABC⊥平面ABE；(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．三、探究与拓展6．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．答案1．(1)证明由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)．所以GH＝(0，b,0)，BC＝(0，b,0)，于是GH＝BC.又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)解C、D、F、E四点共面．理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以EF＝(－a,0，c)，CH＝(－a,0，c)，EF＝CH.又C∉EF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面．(3)证明由AB＝BE，得c＝a，所以CH＝(－a,0，a)，AE＝(a,0，a)．又AD＝(0,2b,0)，因此CH·AE＝0，CH·AD＝0，即CH⊥AE，CH⊥AD.又AD∩AE＝A，所以CH⊥平面ADE.由CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.2．(1)证明 PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又 AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又 AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE.故BE⊥PD.(2)解如图所示，以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为(a，a,0)、(0,2a,0)． PA⊥底面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA＝30°.于是，在Rt△AED中，由AD＝2a，得AE＝a.过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE＝a，∠EAF＝60°，得AF＝a，EF＝a.∴E.于是AE＝，CD＝(－a，a,0)．设异面直线AE与CD所成角为θ，则cosθ＝＝＝.∴AE与CD所成角的余弦值为.3．(1)证明作AP⊥CD于点P，连结OP.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.MN＝，OP＝，OD＝.设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·OP＝0，n·OD＝0.即取z＝，解得n＝(0,4，)． MN·n＝·(0,4，)＝0，又MN⊄平面OCD，∴MN∥平面OCD.(2)解设AB与MD所成角为θ. AB＝(1,0,0)，MD＝，∴cosθ＝＝，∴θ＝.∴AB与MD所成角的大小为.4．(1)证明如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)．易得PC＝(0,1，－2)，AD＝(2,0,0)，于是PC·AD＝0，所以PC⊥AD.(2)解PC＝(0,1，－2)，CD＝(2，－1,0)．设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，则即不妨令z＝1，可得n＝(1,2,1)．可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，从而sin〈m，n〉＝.所以二面角A－PC－D的正弦值为.(3)解设点E的坐标为(0,0，h)，其中h∈[0,2]．由此得BE＝.由CD＝(2，－1,0)，故cos〈BE，CD〉＝＝＝，所以＝cos30°＝，解得h＝，即AE＝.5．(1)证明取DE的中点O，取BC的中点G，连结AO，OG，则AO⊥DE，O...
