三反证法与放缩法VIP免费

证明不等式的基本方法——放缩法一、复习反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-------立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结------论正确归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论．（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；（4）结论为“唯一”类命题；.21,1,2,0,1中至少有一个小于试证且已知例xyyxyxyx211.2,2)(22,21,21,0,,21,21,21,1:中至少有一个小于与矛盾这与已知条件且即都不小于假设证明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx反证法主要适用于以下两种情形(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.二、放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法.21,,,,3caddbdccacbbdbaaRdcba求证已知例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba,0,,,:证明baababdccdcd21.caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即得把以上四个不等式相加.111,,4bbaabababa求证是实数已知例.1111111111110:bbaababbaababababababababa证明补充例题:mccmbbmaamcbaABC:,,,,.1求证为正数且的三边长是已知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf)()(,)(mbaba)()(.),0()(),0,0(1)(:又上是增函数在易知设函数证明)(23,,.2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx求证不全为零已知实数22)2(43)2(22222yxyxyxyyxyxyx：证明2,22222xzxzxzzyzyzy同理可得)(23)2()2()2(,,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，，zyx所以三式相加得式取不到等号故上述三式中至少有一不全为零由于:.,,,,放缩技巧有常用的后证即放大成如将中间量寻找一个一边放大或缩小放缩法就是将不等式的BCCACA)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(2222Nkkkkkkkkkkkkkk②aa①且以上如缩应用基本不等式进行放子或分母在分式中放大或缩小分一些项或加进舍掉