课时作业12椭圆的简单几何性质(1)知识点一由椭圆方程研究简单几何性质1.椭圆25x2+9y2=1的范围为()A.|x|≤5,|y|≤3B.|x|≤,|y|≤C.|x|≤3,|y|≤5D.|x|≤,|y|≤答案B解析椭圆方程可化为+=1,所以a=,b=,又焦点在y轴上,所以|x|≤,|y|≤.故选B.2.已知椭圆C1:+=1,C2:+=1,则()A.C1与C2顶点相同B.C1与C2长轴长相等C.C1与C2短轴长相等D.C1与C2焦距相等答案D解析由两个椭圆的标准方程,可知C1的顶点坐标为(±2,0),(0,±2),长轴长为4,短轴长为4,焦距为4;C2的顶点坐标为(±4,0),(0,±2),长轴长为8,短轴长为4,焦距为4.故选D.知识点二由椭圆的几何性质求方程3.已知直线2x+y-2=0经过椭圆+=1(a>0,b>0)的上顶点与右焦点,则椭圆的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案A解析直线2x+y-2=0与坐标轴的交点坐标为(1,0),(0,2),由题意得c=1,b=2,所以a==,所以椭圆的方程为+=1.4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,两个焦点恰好将长轴三等分,则该椭圆的标准方程是________.答案+=1解析由2a=18,得a=9.又因为2c==6,所以c=3.所以b2=a2-c2=81-9=72.所以所求椭圆的标准方程为+=1.知识点三椭圆的离心率问题5.椭圆x2+4y2=1的离心率为()A.B.C.D.答案A解析将椭圆方程x2+4y2=1化为标准方程得x2+=1,则a2=1,b2=,c==,离心率e==.6.如图所示,F是椭圆的左焦点,P是椭圆上一点,PF⊥x轴,OP∥AB,则椭圆的离心率为________.1答案解析解法一:设椭圆方程为+=1(a>b>0),则kAB=-.又PF⊥x轴,∴P点的坐标为,∴kOP=-. OP∥AB,∴kAB=kOP,即-=-,∴b=c,a2=2c2,因此,a=c,∴e=.解法二:设椭圆方程为+=1(a>b>0),则P.又OP∥AB,∴∠POF=∠BAO,∴Rt△OPF∽Rt△ABO,∴=,即=,即=,∴b=c,∴a=c,∴e==.7.已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得∠F1PF2=,求椭圆离心率的取值范围.解在△F1PF2中,∠F1PF2=,由余弦定理,可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,由于|PF1|+|PF2|=2a,所以4c2=4a2-3|PF1|·|PF2|.结合基本不等式,可得4a2-4c2=3|PF1||PF2|≤32=3a2(当且仅当|PF1|=|PF2|=a时等号成立),即a2≤4c2,可得e≥,又 e<1,∴椭圆离心率的取值范围是.一、选择题1.椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为()A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(-,0),(,0)D.(0,-),(0,)答案D解析方程化为标准形式为x2+=1,其焦点在y轴上,由于a2=6,∴a=.∴长轴的端点坐标为(0,±),故选D.2.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.+=1B.x2+=1C.+y2=1D.+=1答案B解析椭圆9x2+4y2=36可化为+=1,可知焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±),故可设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=.又2b=2,即b=1,所以a2=b2+c2=6,则所求椭圆的标准方程为x2+=1.3.如果椭圆+=1(k>-8)的离心率为e=,则k=()A.4B.4或-C.-D.4或-2答案B解析若椭圆的焦点在x轴上,则=,解得k=4;若椭圆的焦点在y轴上,则=,解得k=-.所以k=4或k=-.4.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案A解析依题意得,4b2=4ac,∴=,即1-e2=e.∴e2+e-1=0,∴e=(舍去负值).5.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为()A.2B.3C.6D.8答案C解析由题意得,F(-1,0),设点P(x0,y0),则y=3(-2≤x0≤2),因为OP=(x0,y0),FP=(x0+1,y0),所以OP·FP=x0(x0+1)+y=x+x0+y=x+x0+3=(x0+2)2+2,所以当x0=2时,OP·FP取得最大值6.二、填空题6.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为F(2,0),给出下列四个条件:①短半轴长为2;②长半轴长为2;③离心率为;④一个顶点坐标为(2,0).其中可求得椭圆方程为+=1的条件有________(填序号).答案①②③解析只需保证a=2,b=2,c=2即可,而椭圆的顶点坐标为(0,±2),(±2,0),故①②③可求得椭圆方程为+=...