课时作业12椭圆的简单几何性质(1)知识点一由椭圆方程研究简单几何性质1.椭圆25x2＋9y2＝1的范围为()A．|x|≤5，|y|≤3B．|x|≤，|y|≤C．|x|≤3，|y|≤5D．|x|≤，|y|≤答案B解析椭圆方程可化为＋＝1，所以a＝，b＝，又焦点在y轴上，所以|x|≤，|y|≤.故选B.2．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则()A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相等C．C1与C2短轴长相等D．C1与C2焦距相等答案D解析由两个椭圆的标准方程，可知C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.知识点二由椭圆的几何性质求方程3.已知直线2x＋y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>0，b>0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1答案A解析直线2x＋y－2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)，由题意得c＝1，b＝2，所以a＝＝，所以椭圆的方程为＋＝1.4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．答案＋＝1解析由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝＝6，所以c＝3.所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.知识点三椭圆的离心率问题5.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.B.C.D.答案A解析将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程得x2＋＝1，则a2＝1，b2＝，c＝＝，离心率e＝＝.6．如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为________．1答案解析解法一：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则kAB＝－.又PF⊥x轴，∴P点的坐标为，∴kOP＝－. OP∥AB，∴kAB＝kOP，即－＝－，∴b＝c，a2＝2c2，因此，a＝c，∴e＝.解法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则P.又OP∥AB，∴∠POF＝∠BAO，∴Rt△OPF∽Rt△ABO，∴＝，即＝，即＝，∴b＝c，∴a＝c，∴e＝＝.7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝，求椭圆离心率的取值范围．解在△F1PF2中，∠F1PF2＝，由余弦定理，可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，由于|PF1|＋|PF2|＝2a，所以4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|.结合基本不等式，可得4a2－4c2＝3|PF1||PF2|≤32＝3a2(当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时等号成立)，即a2≤4c2，可得e≥，又 e<1，∴椭圆离心率的取值范围是.一、选择题1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)，(0，)答案D解析方程化为标准形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，∴a＝.∴长轴的端点坐标为(0，±)，故选D.2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.＋＝1B．x2＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1答案B解析椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.3．如果椭圆＋＝1(k>－8)的离心率为e＝，则k＝()A．4B．4或－C．－D．4或－2答案B解析若椭圆的焦点在x轴上，则＝，解得k＝4；若椭圆的焦点在y轴上，则＝，解得k＝－.所以k＝4或k＝－.4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案A解析依题意得，4b2＝4ac，∴＝，即1－e2＝e.∴e2＋e－1＝0，∴e＝(舍去负值)．5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8答案C解析由题意得，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则y＝3(－2≤x0≤2)，因为OP＝(x0，y0)，FP＝(x0＋1，y0)，所以OP·FP＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，所以当x0＝2时，OP·FP取得最大值6.二、填空题6．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F(2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为2；③离心率为；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为＋＝1的条件有________(填序号)．答案①②③解析只需保证a＝2，b＝2，c＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±2，0)，故①②③可求得椭圆方程为＋＝...
