2.3.2双曲线的简单几何性质A级：基础巩固练一、选择题1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为()A．－B．－4C．4D.答案A解析双曲线的标准方程为y2－＝1，∴a2＝1，b2＝－.由题意，得b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.2．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，则实数a的值为()A.B．2C.D．4答案D解析由题意，得＝，所以a＝4.3．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．6C．7D．9答案C解析 双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴＝， b＝3，∴a＝2.又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4.∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．4．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析将y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得(1－k2)x2－4kx－10＝0，则即∴－
1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m1D．mn.又(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1e2>1.1二、填空题7．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________．答案－＝1解析依题意，设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.8．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝________.答案4解析如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·cos，化简得a＋3a＝4c2，该式可变形为＋＝4，∴＋＝4.9．已知F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，若A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________．答案9解析因为A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4,0)，于是由双曲线的定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4.而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5.两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A，P，F′三点共线时，等号成立．由双曲线的图象可知当点A，P，F′共线时，满足|PF′|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF′|＝5，故所求最小值为9.三、解答题10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(－3,2)．(1)求双曲线方程与其渐近线方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的实数k的取值．解(1)由题意得解得∴双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0，若3－k2≠0，由题意得Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0，∴k2＝7，∴k＝±.若3－k2＝0，即k＝±，则直线l与双曲线C的渐近线y＝±x平行，此时直线l与双曲线C只有一个公共点，∴k＝±或k＝±.B级：能力提升练1．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A，B两点关于直线y＝x对称？若存在，请求出a的值；若不2存在，请说明理由．解(1)由消去y得，(3－a2)x2－2ax－2＝0.①依题意即－0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)...
