第二章1.2余弦定理第1课时余弦定理及其直接应用安徽省灵璧县黄湾中学柯林学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．一、问题导学三、达标检测二、题型探究内容索引一、问题导学知识点一余弦定理答案思考1根据勾股定理，若在△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案当a＝b＝c时，C＝60°，a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.思考2在c2＝a2＋b2－2abcosC中，abcosC能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？答案答案abcosC＝|CB→||CA→|cosCB→，CA→＝CB→·CA→.∴a2＋b2－2abcosC＝CB→2＋CA→2－2CB→·CA→＝(CB→－CA→)2＝AB→2＝c2.猜想得证．梳理余弦定理的公式表达及语言叙述余弦定理公式表达a2＝，b2＝，c2＝_________________语言叙述三角形中任何一边的平方等于_______________________________________________________b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍余弦定理推论cosA＝，cosB＝，cosC＝___________b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．知识点二适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案答案每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．思考2观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案答案每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．梳理余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．[思考辨析判断正误]1.勾股定理是余弦定理的特例.()2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.()3.在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不一定唯一.()√√×二、题型探究例1已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求c.类型一余弦定理的证明解答解则|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosC，所以c2＝a2＋b2－2abcosC.如图，设CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c，由AB→＝CB→－CA→，知c＝a－b，反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.跟踪训练1例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？解如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.解答类型二用余弦定理解三角形命题角度1已知两边及其夹角例2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于13A.4B.15C.3D.17答案√解析解析由三角形内角和定理可知cosC＝－cos(A＋B)＝－13，又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以c＝17.反思与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.解答解由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－43，因为b>a，所以B>A，所以A为锐角，所以A＝30°.跟踪训练2在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.所以c＝6－2.由正弦定理，得sinA＝asinCc＝12，命题角度2已知三边例3在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求A，B，C.解根据余弦定理，cosA＝b2＋c2－a22bc＝6＋232＋432－2622×6＋23...
