课时作业17一、选择题1．如下图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是()解析：直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，故A不正确．关于B、D，由椭圆知直线斜率应满足a>0，而由B，D知直线斜率均为负值，故B，D不正确．由C可知a>0，b<0.答案：C2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得－·＝－1(－显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(舍负)．答案：D3．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式作差得＝＝＝.又直线AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2.代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.答案：B4．[2014·浙江省学军中学期中考试]如下图，F1、F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.解析：本题主要考查双曲线的几何性质．∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义得：|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋161＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝，∴双曲线的离心率e＝＝，故选A.答案：A二、填空题5．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于__________．解析：当直线l与双曲线的渐近线平行时，与双曲线的右支有唯一交点，直线l的斜率为±1.答案：±16．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长为__________．解析：由消去y，得x2＋3x＋2＝0.得x1＝－1，x2＝－2，又x－y＋＝0∴当x＝－1时，y＝0，当x＝－2时，y＝－.∴AB＝＝2.答案：27．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是__________．解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，依题意c＝.∴方程可化为－＝1.由得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.∵＝－，∴－＝－，解得a2＝2.∴双曲线的方程为－＝1.答案：－＝1三、解答题8．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．(1)求线段AB的长；(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？解：由，得(3－a2)x2－2ax－2＝0，Δ＝4a2－4(3－a2)(－2)＝24－4a2>0，∴a∈(－，)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.(1)|AB|＝＝＝＝.(2)由题意知，OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，2∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，解得a＝±1.即a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．9．[2013·东北育才学校模考]双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．(1)求双曲线C的方程；(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于点Q(点Q与C的顶点不重合)．当PQ＝λ1QA＝λ2QB，且λ1＋λ2＝－时，求点Q的坐标．解：由椭圆＋＝1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2，设双曲线方程为－＝1，又y＝x为双曲线C的一条渐近线，∴＝，又因为a2＋b2＝c2，可以解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－＝1.(2)由题意知直线l的斜率k存在且不等于零．设l的方程：y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(－，0)，∵PQ＝λ1QA，∴(－，－4)＝λ1(x1＋，y1)，∴⇒∵A(x1，y1)在双曲线C上，∴()2－－1＝0，∴(16－k2)λ＋32λ1＋16－k2＝0.同理有：(16－k2)λ＋32λ2＋16－k2＝0.若16－k2＝0，则直线l过顶点，不合题意，∴16－k2≠0，∴λ1，λ2是二次方程(16－k2)x2＋32x＋16－k2＝0的两根，∴λ1＋λ2＝＝－，∴k2＝4，此时Δ>0，∴k＝±2.∴所求Q的坐标为(±2,0)．34
