高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版VIP免费

高二数学圆的标准方程圆的一般方程知识精讲人教版一.本周教学内容：《解析几何》第二章第二单元§2.5圆的标准方程；§2.6圆的一般方程二.重点、难点：1.圆的定义：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。这定点叫做圆的圆心，通常用C表示；这定点叫做圆的半径，通常用r表示。根据圆的定义，易导出圆的标准方程。2.圆的标准方程的导出：设圆心C（a，b），半径为r，设P（x，y）是圆C上任意一点，则由圆的定义，可知，即PCrxaybr22化简，得xaybr222此即以（，）为圆心，以为半径的圆的标准方程abrC（1）由标准方程易得圆心坐标及半径；反之，若已知圆心坐标及半径，易得圆的标准方程。（2）由标准方程可知，欲确定（求出）一个圆，需三个条件：a，b，r，因此在求圆的方程的时候，通常要列出关于a，b，r为未知的三个方程，求解a，b，r，再写出标准方程。若将圆的标准方程进一步去括号，整理，可得圆的一般方程。xaybr223022.圆的一般方程：xyDxEyF当且仅当时，上述方程才表示圆，其圆心坐标为，，半径DEFDE224022rDEF12422。事实上，上述结论可由如下方法得来：把的左式配方变形，得：xyDxEyF220xDyEDEF22442222若，则该方程表示以，为圆心，以为半DEFCDEDEF22224022124径的圆。若，则该方程即DEFxDyE222240220xDyEDE2222且，此时该方程只有一个解，，它表示一个点。（不妨称之为点圆）若，则该方程无解，它不表示任何图形。DEF2240（）由以上讨论可知，并不是形如的方程都表示圆，需要1022xyDxEyF对其进行判断才可下结论，判断方法就是计算。（这就象一元二次方程中DEF224的判别式）（2）圆的一般方程虽不能使圆心、半径一目了然，但它突出了一个二元二次方程在表示圆用心爱心专心时其形式上的特征：（i）缺xy项；（ii）x2，y2系数相等。（3）若已知圆的一般方程，只需通过配方变形，即可化为标准方程，进而求出圆心坐标及半径r。（4）欲求圆的一般方程，只需求出三个常数D、E、F。（确定一个圆的方程，需要三个独立的条件）4.点与圆的位置关系：设平面上有一点（，），及一圆：PabCxxyyr02022则（）点在圆上；1PCrP（）点在圆内；2PCrP（）点在圆外。3PCrP可见，判断点与圆的位置关系，只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可。5.直线与圆的位置关系：设平面上一直线：，及一圆：，另设圆心lAxByCCxxyyrC002022到直线l的距离为d。则（）与圆相切（只有一个交点）1drl（）与圆相交（有两个交点）2drl（）与圆相离（没有交点）3drl①若直线l与圆C相切，则l称为圆C的切线。（已知圆C的方程，以及l经过点P(a,b)，且与圆C相切，如何求l的方程？）②若直线l与圆C相交，则l称为圆C的割线。l被圆所截得的线段AB叫做圆C的弦。设：，圆：。圆心到的距离为，弦为，则有lykxbCxxyyrldAB02022如下关系式：。欲求圆的弦长。只需先计算出，，再用上述关系式可求dABrdr2222|AB|。［注］在研究圆的问题时，若能注意到圆的几何性质，往往给解题带来简便的方法。【典型例题】例1.已知圆：，求过点（，）且与圆相切的切线的方程。OxyPOPT22424分析：所求切线PT过点P，容易想到利用点斜式建立直线方程，为此，需求出直线PT的斜率k，于是有如下解法：解法一：设切线PT的斜率为k，则该直线方程为ykxkxyk42420，即该直线与圆相切O4212342kkk，解得注意到P（2，4）不在圆上（圆外），而过圆外一点的圆的切线有两条另一条切线的斜率不存在，该切线方程为x2所求圆的切线的方程为或OPTyxx43422用心爱心专心即或341002xyx［注］若联想到直线方程的两点式，欲求切线方程，只需求出切点T的坐标。于是又有如下解法：解法二：设切点（，），由点在圆上，可得Txy...