2.3.2双曲线的简单几何性质[课时作业][A组基础巩固]1．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x解析：由题意得b＝1，c＝.∴a＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.答案：C2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2C．4D．4解析：将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程－＝1，则a2＝4，所以实轴长2a＝4.答案：C3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－B．－4C．4D.解析： 方程mx2＋y2＝1表示双曲线，∴m<0.将方程化为标准方程为y2－＝1.则a2＝1，b2＝－. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴可知b＝2a，∴b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.答案：A4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是()A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4解析：令y＝0，则x＝－4，即c＝4，又c2＝a2＋b2，a＝b，∴c2＝2a2，a2＝8.答案：A5．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.B．2C.D.解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为. M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故选D.答案：D6．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.解析：双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，1即y＝－x，因为a＞0，所以＝，所以a＝.答案：7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：28．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c－a＝1，又e＝＝2，两式联立得a＝1，c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴方程为x2－＝1.答案：x2－＝19．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率．解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，所以椭圆的右焦点坐标为(，0)，双曲线的右焦点坐标为(，0)，所以3m2－5n2＝2m2＋3n2，所以m2＝8n2，即|m|＝2|n|，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，y＝±x.离心率e＝＝，e＝.10．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标．解析：(1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，∴＝，∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，∴∴∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．[B组能力提升]1．(2016·高考全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，)C．(0,3)D．(0，)2解析：根据双曲线的焦距，建立关于n的不等式组求解．若双曲线的焦点在x轴上，则又 (m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴∴－13m2且n<－m2，此时n不存在．故选A.答案：A2．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是()A．(1,1＋)B．(1＋，＋∞)C．(1－，1＋)D．(，＋1)解析：由△ABF2为锐角三角形得，1，∴1
