3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1．空间向量基本定理．定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋＋zOC.想一想：平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？2．空间向量的正交分解及其坐标表示．(1)单位正交基底：三个有公共起点O的______的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间向量的坐标表示：以e1，e2，e3的__________为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把________称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝________．想一想：1.与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标唯一吗？基础梳理1．想一想：空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．2．两两垂直公共起点Ox，y，z(x，y，z)想一想：1.xOy平面上的点的坐标为(x，y，0)，xOz平面上的点的坐标为(x，0，z)，yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)．另外还要注意向量OP的坐标与点P的坐标相同．2．唯一．在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变．1．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()A．aB．bC．a＋2bD．a＋2c3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则AD1的坐标为________，AC1的坐标为________．1自测自评1．解析：由空间向量基底的概念知，A正确．答案：A2．D3．解析：根据已建立的空间直角坐标系知A(0，0，0)，C1(2，2，1)，D1(0，2，1)，则AD1的坐标为(0，2，1)，AC1的坐标为(2，2，1)．答案：(0，2，1)(2，2，1)1．O、A、B、C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则()A.OA、OB、OC共线B.OA、OB共线C.OB、OC共线D．O、A、B、C四点共面1．解析：由OA、OB、OC不能构成基底知OA、OB、OC三向量共面，所以O、A、B、C四点共面．答案：D2．(2014·南昌高二检测)设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别是__________．2．解析：a的坐标为(2，－4，5)，b的坐标为(1，2，－3)．答案：(2，－4，5)，(1，2，－3)3．长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则AC1＝()A．i＋j＋kB.i＋j＋kC．3i＋2j＋5kD．3i＋2j－5k3．解析：AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝3i＋2j＋5k.答案：C4．以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若a，b，c为空间向量的一个基底，则a，b，c全不是零向量2C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底4．解析：使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是AB·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是CA·CB＝0，故C不正确；空间基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确．答案：B5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，12，10)D．(4，3，2)5．解析：设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．答案：A6．已知空间四边形OABC中OA＝a，OB＝b，OC＝c...
