【状元之路】2016届高考数学理一轮总复习第8章解析几何练习4(含解析)新人教A版1.[2014·福建]直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析:若k=1,则直线l:y=x+1与圆相交于(0,1),(-1,0)两点,所以△OAB的面积S△OAB=×1×1=,所以“k=1”⇒“△OAB的面积为”;若△OAB的面积为,则k=±1,所以“△OAB的面积为”⇒/“k=1”,所以“k=1”是“△OAB的面积为”的充分而不必要条件,故选A.答案:A2.[2014·江西]在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为()A.πB.πC.(6-2)πD.π解析:方法一设A(a,0),B(0,b),圆C的圆心坐标为,2r=,由题知圆心到直线2x+y-4=0的距离d==r,即|2a+b-8|=2r,2a+b=8±2r,由(2a+b)2≤5(a2+b2),得8±2r≤2r⇒r≥,即圆C的面积S=πr2≥π.方法二由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O,要使圆C的面积最小,只需圆C的半径或直径最小.又圆C与直线2x+y-4=0相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O到直线2x+y-4=0的距离,此时2r=,得r=,圆C的面积的最小值为S=πr2=π.答案:A3.[2014·陕西]若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为__________.解析:因为点(1,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(0,1),所以所求圆的圆心为(0,1),半径为1,于是圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=14.[2014·重庆]已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=__________.解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±5.[2014·课标全国Ⅱ]设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是__________.解析:由题意可知M在直线y=1上运动,设直线y=1与圆x2+y2=1相切于点P(0,1).当x0=0即点M与点P重合时,显然圆上存在点N(±1,0)符合要求;当x0≠0时,过M作圆的切线,切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP=45°时,有x0=±1.结合图形可知,符合条件的x0的取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]