高二数学双曲线及其标准方程（第二课时）例1根据条件求解下列各题（1）若椭圆的两顶点是双曲线的焦点，而双曲线的两个顶点又是椭圆的焦点。求双曲线的方程。（2）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过P（4，6）、Q（1，1）两点，求双曲线方程。解：（1） 椭圆的顶点是（4，0）、（－4，0），焦点是（，0）、（，0），可知双曲线的焦点在轴上，中心在原点。设双曲线方程为（）。由已知有，，可得∴所求双曲线方程为（2）由已知未说明双曲线焦点在轴还是在轴，设双曲线方程为（）代入点P（4，6）和点Q（1，1），可得方程组：解这个方程组，可得用心爱心专心115号编辑即所求双曲线方程为例2求与圆A：和圆B：都外切的圆的圆心P的轨迹方程。解： ∴点P轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，如图。设P（）， ，∴，又，∴，故例3若一个动点P（）到两个定点A（－1，0），（1，0）的距离差的绝对值为定值（），试讨论点P的轨迹方程。解： ，（1）当时，轨迹是两条射线（），或（）；（2）当时，轨迹是线段的垂直平分线，即轴，方程为；（3）当时，轨迹是以为焦点的双曲线，其中，长半轴长，，∴方程为；（4）时无轨迹。说明：以上两例都是应用定义求轨迹方程，要注意定值的范围。用心爱心专心115号编辑例4已知方程，其中为实数，对于不同范围的值分别指出方程所代表的图形的类型。分析本例中首先需要将参数取特殊值，使已知方程为特殊方程，然后用的特殊值将的取值范围分成若干个区间，再分别对已知方程进行全面的讨论。解：（1）当时，，即，表示两条平行于轴的直线；（2）当时，，表示圆心在原点，半径为2的圆；（3）时，方程为，表示焦点在轴的双曲线；（4）时，方程，表示焦点在轴的椭圆；（5）时，方程，表示焦点在轴的椭圆。例5已知的顶点B（－2，0），C（2，0），并且求顶点A的轨迹方程。解：设外接圆半径为R，则由：，得：即∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支，并去掉顶点。 ∴用心爱心专心115号编辑故点A的轨迹方程为（）评注：求点的轨迹应注意纯粹性，剔除“杂点”，本例中表现为不要左支和右支上的顶点。例6过双曲线H：右焦点的直线：与双曲线H在第三象限交于点P。如果点P到原点的距离为，试求双曲线H的方程。分析：容易求得，再求出点P的坐标，即可用定义与，求与，或解方程组求、。解法1： ，∴故。 ，∴设依题意，得：解之，得∴又，∴①用心爱心专心115号编辑又②由式①、式②解得。故双曲线H的方程为解法2：前面同解法1，得、、由双曲线的定义，得，∴故双曲线H的方程为评注：解法2利用双曲线的定义与求出、，方法简便快捷；解法1也很基本，只是解方程组的计算繁一些例1写出双曲线C：的焦点坐标、顶点坐标、离心率、准线方程、渐近线方程以及其共轭双曲线的方程．分析：解决这些问题首先是化双曲线C的方程为标准方程，再在标准方程下根据双曲线的几何性质直接写出所需要的点的坐标与直线的方程。解：双曲线C的标准方程为：用心爱心专心115号编辑焦点坐标：；顶点坐标：；离心率：；准线方程：；渐近线方程：；共轭双曲线方程：例2根据条件求解下列各题（1）已知双曲线的两条渐近线方程为和两顶点间距离为2，求双曲线方程。（2）已知双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率，且双曲线过点（6，）。求双曲线方程。（3）已知双曲线中心在原点，一条渐近线方程是，且双曲线过点P（，8），求双曲线方程。解：（1）由已知，可知双曲线为等轴双曲线。设双曲线方程为或（）由已知，，即∴所求双曲线方程为或。用心爱心专心115号编辑（2）由，即，可得当双曲线焦点在轴时，可设双曲线方程为：变形为：代入点（6，）和得：，于是此时双曲线方程为：当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线方程为：即：代入点（6，）和，可得，于是此时双曲线方程为：用心爱心专心115号编辑（3）由已知，可知双曲线的渐近线方程为：。即求具有渐近线且过点P（，8）的双曲线方程。设所求双曲线方程为：即：代入点P（，8），得所求双曲线方程为：即：例3求解下列各题（1）若双曲线中心在原点，焦点在轴，离心率．求其渐近线方程．（2）若双曲线两条渐近线方程是，焦点坐标是（，0），（，0...
