4.2用数学归纳法证明不等式A级基础巩固一、选择题1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N),第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析:由题意n≥3知应验证n=3.答案:C2.用数学归纳法证明“1+++…+<n,(n∈N+,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.故选C.答案:C3.设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出的一般结论为()A.f(2n)>(n>1,n∈N*)B.f(n2)>(n>1,n∈N*)C.f(2n)>(n>1,n∈N*)D.以上都不对解析:f(2)=,f(4)=f(22)>,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,f(32)=f(25)>,…,依此类推可知f(2n)>(n>1,n∈N*).答案:C4.设f(x)是定义在正整数集上的函数,有f(k)满足:当“f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k<5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立解析:由“f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,因此,对于A,k=1,2时不一定成立,对于B,C,显然错误.对于D,因为f(4)=25>42,因此对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.答案:D5.若不等式++…+>对大于1的一切自然数n都成立,则自然数m的最大值为()A.12B.13C.14D.不存在解析:令f(n)=++…+,取n=2,3,4,5等值发现f(n)是单调递减的,所以[f(n)]max1>,所以由f(2)>,求得m的值.故应选B.答案:B二、填空题6.用数学归纳法证明2n+1≥n2+n+2(n∈N+)时,第一步的验证为________.解析:当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.答案:21+1≥12+1+27.在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,不等式++++≥成立.猜想在n边形A1A2…An中,类似成立的不等式为________.解析:由题中已知不等式可猜想:++…+≥(n≥3且n∈N*).答案:++…+≥(n≥3且n∈N*)8.在应用数学归纳法证明“1+++…+<(n∈N*)”时,从n=k到n=k+1,不等式左边增加的项是________.解析:解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化,一看“头”,从12开始;二看“尾”,当n=k时,尾项的分母为(k+1)2,n=k+1时尾项的分母为(k+2)2;三看中间,如果忽略平方,1,2,3,…,(n+1)这些数都是连续相差1时.因此,从n=k到n=k+1只增加了一项,即(k∈N+).答案:三、解答题9.设a为有理数,x>-1.如果0