高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式练习（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

4.2用数学归纳法证明不等式A级基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4解析：由题意n≥3知应验证n＝3.答案：C2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.答案：C3．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出的一般结论为()A．f(2n)＞(n＞1，n∈N*)B．f(n2)＞(n＞1，n∈N*)C．f(2n)＞(n＞1，n∈N*)D．以上都不对解析：f(2)＝，f(4)＝f(22)＞，f(8)＝f(23)＞，f(16)＝f(24)＞，f(32)＝f(25)＞，…，依此类推可知f(2n)＞(n＞1，n∈N*)．答案：C4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k＜5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：由“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于A，k＝1，2时不一定成立，对于B，C，显然错误．对于D，因为f(4)＝25＞42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．答案：D5．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A．12B．13C．14D．不存在解析：令f(n)＝＋＋…＋，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以[f(n)]max1＞，所以由f(2)＞，求得m的值．故应选B.答案：B二、填空题6．用数学归纳法证明2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时，第一步的验证为________．解析：当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．答案：21＋1≥12＋1＋27．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．解析：由题中已知不等式可猜想：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)．答案：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)8．在应用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n＝k到n＝k＋1只增加了一项，即(k∈N＋)．答案：三、解答题9．设a为有理数，x>－1.如果0