3.1.3导数的几何意义[课时作业][A组基础巩固]1．已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°解析： f′(1)＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝1，∴k＝1.又 k＝tanα＝1，∴α＝45°.答案：B2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则()A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x)＝0D．f′(x0)不存在解析：由y＝－3x－5知f′(x0)＝－3<0.答案：B3．设f(x)为可导函数且满足\s\up6(lim＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2解析：\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝f′(1)＝－1.答案：B4．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为()A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8)D.解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x. k＝3，∴3x＝3，∴x0＝1或x0＝－1，∴y0＝1或y0＝－1.∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)．答案：B5．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15解析：由导数的定义得＝＝3＋3Δx＋(Δx)2，则曲线在点P(1,12)处的切线斜率k＝\s\up6(lim[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，故切线方程为y－12＝3(x－1)，令x＝0，得y＝9.答案：C6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′等于________．解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′＝3.答案：37.1如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.解析：由题图可知切线方程为y＝－x＋，所以f(2)＝，f′(2)＝－，所以f(2)＋f′(2)＝.答案：8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.解析：由导数的几何定义知y′|x＝1＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim(2a＋aΔx)＝2a＝2.∴a＝1，把切点(1,3)代入函数y＝ax2＋b得3＝a＋b，∴b＝3－a＝2，故＝2.答案：29．在抛物线y＝x2上求一点P，使在该点处的切线垂直于直线2x－6y＋5＝0.解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则抛物线y＝x2在点P处的切线斜率为f′(x0)＝\s\up6(lim＝2x0.直线2x－6y＋5＝0的斜率为，由题设知2x0·＝－1，解得x0＝－，此时y0＝，所以点P的坐标为.10．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.(1)求曲线在点P、Q处的切线的斜率；(2)求曲线在P、Q处的切线方程．解析：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，∴y＝.∴y′＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝.(1)曲线在点P处切线的斜率为y′＝＝1；曲线在点Q处切线的斜率为y′＝.(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.曲线在点Q处的切线方程为y－＝(x＋1)，即x－4y＋3＝0.[B组能力提升]1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()2解析：依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．答案：A2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：y′＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，所以切线的斜率k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线上，于是有解得答案：A3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.解析：由导数的定义可求得y′＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝2ax，所以k＝2ax＝1，所以x＝，y＝－1.代入y＝ax2可解得a＝.答案：4．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为________．解析：设点P坐标为(x，y)， y′＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim＝\s\up6(lim(2x＋2＋Δx)＝2x＋2，由题意知切线斜率k∈[1，＋∞)，由导数的几何定义可得2x＋2≥1，∴x≥－.答案：[－，＋∞)5．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．解析：因为＝＝＝，所以\s\up6(lim＝＝，解得a＝2或a＝－(...
