第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础题组练]1．(2019·合肥市第一次质量检测)已知cosα－sinα＝，则cos＝()A．－B．－C.D.解析：选C.由cosα－sinα＝，得1－sin2α＝，所以sin2α＝，所以cos＝sin2α＝，故选C.2．(2019·福州模拟)已知cos2α＋3cosα＝1，则cosα＝()A.B．－C.D．－解析：选C.由题意，得2cos2α＋3cosα－2＝0，所以(cosα＋2)(2cosα－1)＝0，解得cosα＝或cosα＝－2(舍去)，故选C.3．(2019·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin2θ＝()A.B.C.D.解析：选C.因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cosθ.又|θ|<，故sinθ＝，cosθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝，故选C.4．(2019·四川成都第七中学一诊)已知tanα＝，tan＝，则m＝()A．－6或1B．－1或6C．6D．1解析：选A.由题意，tanα＝，tan＝＝，则＝，所以m＝－6或1，故选A.5．(2019·武汉模拟)已知cos＝，则cosx＋cos＝()A.B．－C.D．±解析：选A.因为cos＝，所以cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝＝cos＝×＝.故选A.6．(2019·北京丰台二中期中)若sin2α＝a，cos2α＝b，且tan有意义，则tan＝()A.B.C.D.解析：选C.因为sin2α＝a，cos2α＝b，所以tan＝＝＝＝＝，故选C.7.的值是()A.B.C.D.解析：选C.原式＝＝＝＝.8．sin10°sin50°sin70°＝________．解析：sin10°sin50°sin70°＝sin10°cos40°cos20°＝＝＝.答案：9．(2019·郑州市第二次质量预测)已知cos＋cosα＝，则cos＝________．解析：由cos＋cosα＝可得cosαcos＋sinαsin＋cosα＝，即cosα＋sinα＝，＝，得sin＝，故cos＝sin＝.答案：10．(2019·山东淄博模拟)若α为第一象限角，且sin2α＝sincos(π＋α)，则cos的值为________．解析：由sin2α＝sincos(π＋α)，得2sinαcosα＝cos2α.因为α为第一象限角，所以tanα＝，所以cos＝＝cos2α＋sin2α＝cos2α－sin2α＋2sinαcosα＝＝＝.答案：11．已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．解：(1)因为α，β∈，从而－<α－β<.又因为tan(α－β)＝－<0，所以－<α－β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，且＝－，解得sin(α－β)＝－.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.因为α为锐角，sinα＝，所以cosα＝.所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×(－)＝.12．已知coscos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．解：(1)coscos＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－，所以sin2α＝sin＝sincos－cossin＝－×－(－)×＝.(2)因为α∈，所以2α∈，又由(1)知sin2α＝，所以cos2α＝－.所以tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.[综合题组练]1．(创新型)(2019·湖北重点高中联考协作体模拟)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝()A．8B．4C．2D．1解析：选C.因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以＝＝＝＝＝2.故选C.2．(应用型)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，所以即≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝sin.因为≤α≤π，所以≤α＋≤，所以－1≤sin≤1，即取值范围为[－1，1]．答案：[－1，1]3．(创新型)已知sin10°＋mcos10°＝2cos140°，则m＝________．解析：由sin10°＋mcos10°＝2cos140°可得，m＝＝＝＝＝－.答案：－4．(应用型)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由题意，OA＝OM＝1，因为S△OAM＝，α为锐角，所以sinα＝，cosα＝.又点B的纵坐标是.所以sinβ＝，cosβ＝－，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.(2)因为cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，sin2α＝2sinα·cosα＝2××＝，所以2α∈.因为β∈，所以2α－β∈.因为sin(2α－β)＝sin2α·cosβ－cos2α·sinβ＝－，所以2α－β＝－.
