3.3.1函数的单调性与导数[学生用书P129(单独成册)])[A基础达标]1．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是()A．f(b)＞f(c)＞f(d)B．f(b)＞f(a)＞f(e)C．f(c)＞f(b)＞f(a)D．f(c)＞f(e)＞f(d)解析：选C.依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0；当x∈(c，e)时，f′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，在(c，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，又a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．2．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)，(1，＋∞)D．(－3，1)解析：选D.f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，由f′(x)＝(－x2－2x＋3)ex＞0，解得－3＜x＜1，故函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间为(－3，1)．3．三次函数y＝f(x)＝ax3－1在R上是减函数，则()A．a＝1B．a＝2C．a≤0D．a＜0解析：选D.y′＝3ax2，要使f(x)在R上为减函数，则y′≤0在R上恒成立，即a≤0，又a＝0时，y′＝0恒成立，所以a≠0.综上a＜0.4．函数f(x)＝x＋cosx的一个单调递增区间为()A.B.C.D.解析：选A.由f(x)＝x＋cosx得f′(x)＝－sinx，当x∈时，f′(x)>0，故函数f(x)＝x＋cosx的一个单调递增区间为.故选A.5．若f(x)＝，e＜a＜b，则()A．f(a)＞f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)＜f(b)D．f(a)f(b)＞11解析：选A.因为f′(x)＝＝，当x∈(e，＋∞)时，1－lnx＜0，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(e，＋∞)内为单调递减函数．故f(a)＞f(b)．故选A.6．若函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间为________．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝＝，令f′(x)＜0，得x＜0或0＜x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(0，1)．答案：(－∞，0)和(0，1)7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________．解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1，2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b＝－，c＝－6.答案：－－68．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.因为对任意x∈R，f′(x)＞2，所以g′(x)＞0.所以g(x)在R上为增函数.又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，所以x＞－1时，g(x)＞0.所以由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.答案：(－1，＋∞)9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.(1)求a和b的值；(2)试确定函数f(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b，由得解得a＝1，b＝－3.(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x，x∈R，f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．由f′(x)＞0得x＞1或x＜－3；由f′(x)＜0得－3＜x＜1.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1)．[B能力提升]10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a2－3b<0，则f(x)是()A．减函数B．增函数C．常数函数D．既不是减函数也不是增函数解析：选B.由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，则方程3x2＋2ax＋b＝0的根的判别式Δ＝4a2－12b＝4(a2－3b)<0，故f′(x)>0在R上恒成立，即f(x)在R上为增函数．211．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为________．解析：函数y＝f(x)在区间和区间(2，3)上单调递减，所以在区间和区间(2，3)上，y＝f′(x)<0，所以f′(x)<0的解集为∪(2，3)．答案：∪(2，3)12．设函数f(x)＝ax－－2lnx.(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝a＋－，且f′(2)＝0，所以a＋－1＝0，所以a＝.所以f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)．令f′(x)≥0，解得0＜x≤或x≥2；令f′(x)≤0，解得≤x≤2，所以f(x)的递增区间为和[2，＋∞)，递减区间为.(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0恒成立，因为f′(x)＝a＋－＝，所以需ax2－2x＋a≥0恒成立，所以解得a≥1.所以a的取值范围是.13．(选做题)已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)...
