第6讲数[基础达标]1．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)解析：选B.因为n为正奇数，所以n＝2k－1(k∈N*)．3．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析：当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．解析：因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.答案：f(2n)>(n≥2，n∈N*)5．已知数列{an}满足，a1＝1，an＝－.(1)求证：≤an≤1；(2)求证：|an＋1－an|≤.证明：(1)由已知得an＋1＝，计算a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，命题显然成立；②假设n＝k时，有≤an≤1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝≤＜1，ak＋1＝≥＝，即当n＝k＋1时也成立，1所以对任意n∈N*，都有≤an≤1.(2)当n＝1时，|a1－a2|＝，当n≥2时，因为(an＋)(an－1＋)＝(an＋)·＝1＋≥1＋＝，所以|an＋1－an|＝＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|＝·.6．(2019·温州高考模拟节选)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝4，且2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4；(2)猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．解：(1)因为2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，且a1＝2，b1＝4.令n＝1，得到解得a2＝6，b2＝9；同理令n＝2，3分别解得a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.(2)证明：猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．7．(2019·台州市高三期末考试)在正项数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)．(1)求a2，a3；(2)证明：an≥()n－1.解：(1)因为在正项数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)，所以a2＝2×1－＝，a3＝2×－＝.(2)证明：①当n＝1时，由已知a1＝1≥()1－1＝1，不等式成立；②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥()k－1，因为f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增函数，所以ak＋1＝2ak－≥2()k－1－＝()k＋()k－＝()k＋＝()k＋，2因为k≥1，所以2×()k－3≥2×－3＝0，所以ak＋1≥()k，即当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①②知不等式对任何n∈N*都成立．8．(2019·台州市书生中学月考)已知数列{an}中，a1＝，an≠0，Sn为该数列的前n项和，且Sn＋1＝an(1－an＋1)＋Sn，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若不等式an＋an＋1＋an＋2＋…＋a3n>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．解：(1)因为Sn＋1＝an(1－an＋1)＋Sn，n∈N*，所以Sn＋1－Sn＝an(1－an＋1)，所以an＋1＝an(1－an＋1)＝an－anan＋1，所以an－an＋1＝anan＋1.又an≠0，所以－＝1，所以构成以2为首项，以1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝，n∈N*.(2)当n＝1时，＋＋>，即>，所以a<26.而a是最大的正整数，所以取a＝25.下面用数学归纳法证明：＋＋…＋>.①当n＝1时，已证；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，有＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋＋－>＋.因为＋＝>＝，即＋>，所以＋－>0.所以当n＝k＋1时不等式也成立．由①②知，对一...
