第60课椭圆(本课对应学生用书第136-139页)自主学习回归教材1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距,用符号表示为PF1+PF2=2a(2a>F1F2).2.平面内,到定点F(c,0)的距离与到直线l:x=2ac的距离之比是常数ca(a>c>0)的动点的轨迹叫作椭圆.定点F(c,0)是椭圆的焦点,直线l叫作椭圆的准线.3.椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的焦点为(±c,0),其中c=22-ab,焦点F1(-c,0)对应的准线为x=-2ac,焦点F2(c,0)对应的准线为x=2ac.4.椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率e=ca是椭圆上任意一点M到焦点F的距离与点M到焦点F对应的准线的距离的比.椭圆越扁,离心率越大越小;椭圆越圆,离心率越小.?5.椭圆的焦半径公式:椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上任意一点M(x0,y0)到左焦点的距离为a+ex0,到右焦点的距离为a-ex0,其中e为椭圆的离心率.6.点P(x0,y0)和椭圆22xa+22yb=1的位置关系:(1)点P在椭圆内202xa+202yb<1;(2)点P在椭圆上202xa+202yb=1;(3)点P在椭圆外202xa+202yb>1.11.(选修1-1P26习题2改编)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(2,3),那么椭圆C的方程为.[答案]28x+24y=1[解析]因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆C过点P(2,3),所以22a+23b=1,故a2=8,b2=4,从而椭圆C的方程为28x+24y=1.2.(选修1-1P26习题2(4)改编)经过点A22,-2与B3-2,-2的椭圆的标准方程为.[答案]28x+y2=1[解析]设椭圆方程为mx2+ny2=1,因为椭圆经过点A22,-2,B3-2,-2,所以141,2321,4mnmn解得m=18,n=1,故所求椭圆的方程是28x+y2=1.3.(选修2-1P28习题4改编)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)[答案]充要[解析]将方程mx2+ny2=1转化为21xm+21yn=1.根据椭圆的定义,要使方程表示焦点在y轴上的椭圆,必须满足1n>1m>0,所以m>n>0.同理,由m>n>0,可得方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆.24.(选修1-1P26习题3改编)已知F1,F2是椭圆216x+29y=1的两个焦点,过点F1作倾斜角为α的直线与椭圆交于A,B两点,那么△ABF2的周长为.[答案]16[解析]根据椭圆的定义可知AF1+AF2=8,BF1+BF2=8,所以三角形周长为AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=16.5.(选修1-1P26习题4改编)若椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为35,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,则椭圆C的方程是.[答案]225x+216y=1[解析]设椭圆C的半焦距为c,则ca=35,即c=35a,①又MF1+MF2+F1F2=2a+2c=16,②联立①②,解得a=5,c=3,所以b=22-ac=4,所以椭圆C的方程为225x+216y=1.3
