高中数学 2.6《平面向量的坐标运算》同步教学例题讲解 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学试题VIP专享VIP免费

平面向量的坐标运算学习了向量的坐标表示后，我们可以把向量运算代数化.将数与形紧密结合起来，从而使许多问题转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简化.下面举例说明平面向量的坐标运算在解几类题中的应用.一、两向量相等问题例1已知向量u()，xy和向量v(2)，yyx的对应关系可用vf()u表示，求证：对任意向量，ab及常数，mn，恒有(fman)bmf()a＋nf()b成立．证明：设a12()，aa，b12()bb，，则manb1122()，manbmanb，(fmanb222211)(22)manbmanbmanb，，mf()anf()b221221(2)(2)maaanbbb，，222211(22)，manbmanbmanb(fmanb)mf()anf()b成立．点评：两个向量相等，对于用坐标表示的向量，就是这两个向量的坐标相同.为应用题设条件，必须用坐标表示向量，通过坐标进行运算，从而解决问题.二、点的坐标问题例2如图1，已知正方形ABCD的顶点AB，的坐标分别为(10)(53)，，，，求C点的坐标．解：过DB，作x轴的垂线，垂足分别为MN，，由ABCD是正方形可知90．易知DMAANB△≌△，34MADM，，即点D的坐标为(24)，．设()Cxy，，则(24)(43)DCxyAB�，，，．由DCAB�，得2443xy，，解得27.xy，故点(27)C，．点评：解决本题的关键在于把握好向量相等或向量加、减运算的坐标表示与图形表示之间的关系，运用“数形结合”的思想转化解题.三、三点共线问题1例3过原点O的直线与函数8logyx的图象交于AB，两点，过AB，分别作x轴的垂线交函数2logyx的图象于CD，两点．求证：OCD，，三点在一条直线上．证明：设181282(log)(log)AxxBxx，，，，则181282(log)(log)OAxxOBxx�，，，，根据已知OA�与OB�共线，182281loglog0xxxx．又根据题设条件可知121222(log)(log)CxxDxx，，，，121222(log)(log)OCxxODxx�，，，．122221loglogxxxx3333122122loglogxxxx1822813(loglog)0xxxx，OC�与OD�共线，即OCD，，三点在一条直线上．点评：本题将三点共线的证明转化为论证向量共线关系式.通过构设点的坐标，改用向量的坐标运算来论证，十分简捷、新颖、巧妙.四、几何问题例4已知ABC△的面积为214cm，DE，分别为边ABBC，上的点，且::2:1ADDBBEEC，且AE交CD于P，求APC△的面积．解：如图2，以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系．设(00)(30)(33)ABaCbc，，，，，，则2(20)3ADABa�，，22(333)(222)33BEBCbacbac�，，，(22)AEABBEabc�，，(323)DCDBBCbac�，．点APE，，和DPC，，分别共线，存在和，使((2)2)APAEabc�，，((32)3)DPDCbac�，．又(2(32)3)APADDPabac�，，2(2)2(32)23ababacc，①，②由②得23，代入①，化简得76aa．0a，67，264377．于是，PAB△的面积为24148(cm)7，PBC△的面积为261412(cm)7，故APC△的面积为214824(cm)．点评：本题是通过建立直角坐标系，构设点的坐标后转化为向量的坐标运算，确定出P点的位置来求解的，体现了数学建模思想的运用.3