压轴题(四)12．已知函数f(x)＝ax－a2－4(a>0，x∈R)，若p2＋q2＝8，则的取值范围是()A．(－∞，2－)B．[2＋，＋∞)C．(2－，2＋)D．[2－，2＋]答案D解析＝＝，表示点A(p，q)与点B连线的斜率．又a＋≥4，故取点E(4,4)．当AB与圆的切线EC重合时，kAB取最小值，可求得kEC＝tan15°＝2－，所以的最小值为2－；当AB与圆的切线ED重合时，kAB取最大值，可求得kED＝tan75°＝2＋，∴的最大值为2＋；故的取值范围是[2－，2＋]．16．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知椭圆C的方程为＋＝1，A，B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上不同于A，B的动点，直线x＝6与直线PA，PB分别交于M，N两点，若点D(9,0)，则过D，M，N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，则该定点坐标为________．答案(3,0)解析首先证明椭圆的一个性质：椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一个点，则kAPkBP＝－.证明如下：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，由于A，P是椭圆上的两点，故两式作差可得＋＝0，此时kAPkBP＝·＝＝－.故结论成立．设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，由题意可知k1k2＝－＝－，设直线PA的方程为y＝k1(x＋3)，则M(6,9k1)，设直线PB的方程为y＝k2(x－3)，则N(6,3k2)，故kDM·kDN＝·＝3k1k2＝－1，故DM⊥DN，MN为△DMN外接圆的直径，设所求的点为E(m,0)(m≠9)，则kEM·kEN＝·＝－1，即－(6－m)2＝27k1k2＝－9，解得m＝3(m＝9舍去)．综上可得，所求定点的坐标为(3,0)．20．已知动点P到点F的距离比它到直线x＝－的距离小2.(1)求动点P的轨迹方程；(2)记P点的轨迹为E，过点F、斜率存在且不为0的两直线l1，l2分别与曲线E交于M，N，P，Q四点，若l1⊥l2，证明：＋为定值．解(1)由题意可知动点P到点F的距离与它到直线x＝－的距离相等，显然动点P的轨迹是抛物线，设其方程为y2＝2px(p>0)，易知p＝，所以动点P的轨迹方程为y2＝x.(2)证明：由题意，直线l1的斜率存在，可设直线l1：y＝k.由得k2x2－x＋＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝＝.于是|MN|＝x1＋x2＋p＝＋＝.同理可得|PQ|＝＝k2＋1.所以＋＝＋＝1，为定值．21．已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．解(1)函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)．当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋＝＝.曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率为f′(2)＝，f(2)＝－2＋ln2，故曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程为y－f(2)＝f′(2)·(x－2)，即y－(－2＋ln2)＝(x－2)，化简得3x－2y－10＋2ln2＝0.(2)因为f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，从而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x>0.当a≤0时，x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减；当0
0，得0；由f′(x)<0，得1时，由f′(x)>0，得01；由f′(x)<0，得
