1.3.3最大值与最小值知识梳理1.函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有____________,但最大(小)值只有____________;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的不一定有最值,有最值的未必有极值;极值可能成为最值.2.在闭区间［a，b］上连续的函数f(x)在［a，b］上____________最大值与最小值；在(a，b)上连续的函数或在［a，b］上的不连续函数____________最大值与最小值.3.求f(x)在［a，b］上的最大值与最小值的步骤是：(1)________________________________________________;(2)________________________________________________.知识导学通过前面的学习,我们知道函数的极值是在定义域内的某个区域内的特征,是一局部概念,极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小；在现实生活和社会实践中,为了发挥最大的经济效益,常常会遇到如何使用料最省、产量最高、效益最大、成本最低等问题.解决这些问题常常需转化为求导函数最大值和最小值问题,函数在什么条件下有最大和最小值，它们和函数极值的关系如何等来处理.求函数f(x)在［a,b］内的最大值与最小值的步骤:(1)首先确定函数f(x)在［a,b］内连续,在(a,b)内可导;(2)求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值;(3)求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b);(4)将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的是最小值.疑难突破本节的难点在于搞清函数的最大、最小值与函数极值的关系.函数的最大值、最小值与函数的极值之间有怎样的关系?求最值的过程体现了数学中的哪些数学思想?剖析:函数的极值是在局部范围内讨论问题,是局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是一个整体性概念.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.函数在其定义区间最大值和最小值最多各有一个,而函数的极值则可能有多个,也可能没有.求函数的最值实质上是实现新问题向旧问题、复杂问题向简单问题的转化过程.导数具有丰富多彩的性质和特性,这些特性为我们解决问题提供了“肥沃”的等价转化的“土壤”，只要我们认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化、数形结合的数学思想方法,定能不断提高解题的能力.典题精讲【例1】求下列函数的最值.(1)f(x)=3x-x3,≤x≤3;(2)f(x)=6-12x+x3,x∈［,1］.思路分析:利用求最值的一般步骤,要注意应用适当的计算方法,保证运算的准确性.解:(1)f′(x)=3-3x2,令f′(x)=0,得x=±1.∴f(1)=2,f(-1)=-2，f()=0,f(3)=-18.∴f(x)max=2,f(x)min=-18.1(2)f′(x)=-12+3x2=0，∴x=±2.当x∈(-∞,-2)时，f′(x)＞0，∴f(x)为增函数；当x∈(-2,2)时,f′(x)＜0，∴f(x)为减函数;当x∈［,1］时,f(x)为减函数.∴f(x)min=f(1)=-5,f(x)max=f(-)=.绿色通道：函数f(x)在给定区间上连续可导,必有最大值和最小值.因此,在求闭区间［a,b］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处的函数值比较即可.变式训练：求下列函数的最值.(1)f(x)=sin2x-x(-≤x≤);(2)f(x)=(0＜x＜1,a＞0,b＞0).解:(1)f′(x)=2cos2x-1,令f′(x)=0，得x=±.∴f()=,f(-)=.又f()=-,f(-)=,∴［f(x)］max=,［f(x)］min=.(2)f′(x)=.令f′(x)=0,即b2x2-a2(1-x)2=0,解得x=.当0＜x＜时,f′(x)＜0,当＜x＜1时,f′(x)＞0.∴函数f(x)在点x=baa处取得极小值,也是最小值为f(baa)=(a+b)2,即［f(x)］min=(a+b)2.【例2】设函数f(x)是定义在［-1,0)∪(0,1］上的偶函数,当x∈［-1,0)时,f(x)=x3-ax(a∈R).(1)当x∈(0,1］时，求f(x)的解析式；(2)若a＞3，试判断f(x)在(0，1］上的单调性，并证明你的结论;(3)是否存在a，使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.思路分析:此题具有较强的综合性,应注意知识之间的相互转化和相互联系.解:(1) x∈(0,1］时,-x∈［-1,0),∴f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x3.又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x3.(2)f′(x)=-3x2+a. x∈(0,1］,∴x2∈(0,1］.∴-3x2≥-3. a＞3,∴-3x2+a＞0.故f(x)在(0,1］上为增函数.2(3)假设存在a,使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.∴f′(x)=a-3x2;令f′(x)=...
