高中数学 2.5《平面向量数量积的应用》同步教学例题讲解 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学试题VIP免费

平面向量数量积的应用平面向量的数量积及其性质是平面向量的重点内容，在平面向量中占重要的地位.利用平面向量的数量积及其性质可以处理向量的许多问题.下面举例归纳说明.一、求向量的长度（模）求向量的长度的依据是：①2aaa·；②设a()，xy，则a22xy．例1已知5ab，向量a与b的夹角为π3，求ab，ab．解：依题意，得2225aa，2225bb，π125cos55322abab·．222()225252553·ababaabb．同理，222()22525255ababaabb·.二、求解两向量的夹角问题求两非零向量a与b的夹角的依据是：①cosabab·；②设a11()，xy，b22()xy，，则121222221122cosxxyyxyxy·．例2已知，ab是两个非零向量，且abab，求a与ab的夹角．解：设a与ab的夹角为，由ab，得22ab．又由22222babaabb·，212aba·．而222223abaabba·，3aba，2221()32cos23aaaabaaba，0180≤≤，30．1三、判断两向量的垂直问题判断两向量垂直的依据是：①若a与b为非零向量，则0abab·；②设非零向量a11()xy，，b22()xy，，则ab12120xxyy．例3已知(43)(32)22abcabdab，，，，，，则当实数为何值时，向量cd与a垂直．解：22cabdab，，(2)(2)3cdababab．(43)(32)ab，，，，3(43)(32)(12392)cd，，，．若()cda，则(123)(4)(92)(3)0··，256．四、判断多边形的形状例4在平面四边形ABCD中，AB�a，BC�b，CD�c，DA�d，abbccdda····，问该四边形ABCD是什么图形？解：abbc··，()0bac·，即()bac；同理，()dac．由题意，显然有bd∥；同理，ac∥．四边形ABCD是平行四边形．又()，，bacacba∥．四边形ABCD是矩形．五、求解最值问题例5如图1，在Rt△ABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ�与BC�的夹角取何值时，BPCQ�的值最大？并求出这个最大值．2解法一：如图2，ABAC�，0ABAC�·．APAQBPAPABCQAQAC�，，，()()BPCQAPABAQACAPAQAPACABAQABAC��······22221()cos2aAPACABaPQBCaa�··．故当cos1，即0（PQ�与BC�方向相同）时，BPCQ�·的值最大，其最大值为0．解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图3所示的平面直角坐标系．设ABc，ACb，则(00)(0)(0)ABcCb，，，，，，且2PQa，BCa．设点P的坐标为()xy，，则222()Qxyxya，，．()()()(22)BPxcyCQxybBCcbPQxy�，，，，，，，．22()()()()BPCQxcxyybxycxby�·．22(2)()(2)cos2PQBCxcybcxbyaaPQBC��，2coscxbya．322cosBPCQaa�·．故当cos1，即0（PQ�与BC�方向相同）时，BPCQ�·的值最大，其最大值为0．六、求解探索性问题例6已知点(12)A，和(41)B，，问能否在y轴上找到一点C，使90ACB，若不能，请说明理由；若能，求出C点坐标．解：假设存在点(0)Cy，使90ACB，则ACBC�．(12)(41)0ACyBCyACBC�，，，，·，4(2)(1)0yy，220yy．而在方程220yy中，0，方程无实数解，故不存在满足条件的点C4