课时提升作业九椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为()A.2B.3C.5D.7【解析】选D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.2.(2016·日照高二检测)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON为△MEF的中位线,所以|ON|=|ME|=4.3.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是()A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦1点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,因为△PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即=c.①又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,所以a-c=,②联立①②,可得a=2,c=,b==3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为()A.B.C.D.【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设|=m,|=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,故h=.二、填空题(每小题5分,共15分)26.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得所以故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是.【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,故|PF1|·|PF2|的最大值是16.答案:168.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2=.【解析】由题意=c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.由题意得点P坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).3由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为+=1.故椭圆的标准方程为+=1或+y2=1.10.(2016·郑州高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y.因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·郑州高二检测)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()A.m<2B.1b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得2+-1=0,所以=.所以a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或c,得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以椭圆方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是.【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|...
