全国高中数学联赛模拟题一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.已知，且，，，若，则a的取值范围是。2.在中，若，，，为的内心，且，则.3.已知函数若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是。4.计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是。5.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是．6.设为一个整数数列，并且满足：，．若，则满足且的最小正整数n是．7.如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是。8.在平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为。二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）对正整数，记，求数列中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足时，求实数m的取值范围。二、（本题满分40分）已知：，，求证：。参考答案一试1.答：，要使，只需C中的最大元素在B当中，所以，得。2.答：设AO交BC于点D，由角平分线定理知，于是，又，所以，因此。3.答：利用函数图象进行分析易得结果。4.答：若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1~n1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了，则概率为，所以所求概率为注意到两式相除即得。5.答：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值。设直线l方程为，与椭圆方程联立得，设，，则，，于是。因为，所以内切圆半径，因此其面积最大值是。6.答：501当时，将原式变形为，令，则有，叠加可得，于是。由，得，化简得。由，得，将上述关于的结果代入得，于是质数且n是奇数，所以满足条件的最小的n是501。7.答：16将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h的水平面与两个几何体所截的截面面积。与第一个几何体形成的截面是圆环，外径是，内径是12，所以面积是，这正是与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。8.答：令，原方程化为①所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，或点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为9.（本小题满分16分）解：经计算知，，，下面用数学归纳法证明：当时，有。假设，则。所以数列中的最大值是。10.（本小题满分20分）解：椭圆过定点A（1，0），则∵，∴。由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线的交点，就必过椭圆与射线的交点。联立方程，解得。∵，∴。设抛物线方程为：，。又∵，∴①把，代入①得，，。令，，，∵在内有根且单调递增，∴综上得：。加试二、证明：，∵，，∴。∴，同理，。那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。
