§5正弦函数的图像与性质5.1正弦函数的图像1.能够利用正弦线根据描点法作出y=sinx,x∈R的图像.2.掌握“五点法”作图,并能利用此法作出正弦函数在[0,2π]上的简图.3.掌握正弦曲线的简单应用.正弦函数的图像(1)图像:正弦函数y=sinx,x∈R的图像,又称为正弦曲线,如图.(2)画法:在平面直角坐标系中描出五个关键点:(0,0),ቀπ2,1ቁ,(π,0),ቀ3π2,-1ቁ,(2π,0).然后根据正弦函数的基本形状,用光滑曲线将这五个点连接起来,得到正弦函数的简图,这种画正弦曲线的方法称为“五点法”.名师点拨用五点法只能画出y=sinx在一个周期[0,2π]上的图像.若x∈R,可先作出y=sinx,x∈[0,2π]的图像,然后通过左、右平移可得y=sinx,x∈R的图像.【做一做1】函数y=sinx的图像与x轴的交点有()A.0个B.3个C.6个D.无数个答案:D【做一做2】用五点法画y=sinx,x∈[0,2π]的图像时,下列各点不是关键点的是()A.ቀπ6,12ቁB.ቀπ2,1ቁC.(π,0)D.(2π,0)答案:A怎样用五点法画正弦函数的图像?剖析:画正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像,有五个关键点,它们是(0,0),ቀπ2,1ቁ,(π,0),ቀ3π2,-1ቁ,(2π,0).因此,描出这五个点后,正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像的形状基本上就确定了.在描点时,光滑的曲线是指经过最高点或最低点的连线,要保证近似“圆弧”的形状,经过位于x轴的点时要改变“圆弧的圆心的位置”.题型一题型二题型三题型一画正弦函数的图像【例1】画函数y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图.分析:用五点法画图.解:步骤:①列表:x0𝜋2π3𝜋22πy=sinx010-10y=2sinx-1-11-1-3-1②描点:在平面直角坐标系中描出(0,-1),ቀπ2,1ቁ,(π,-1),ቀ3π2,-3ቁ,(2π,-1)五个点.③连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,得函数y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图,如图.题型一题型二题型三反思用五点法画函数y=Asinx+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤:(1)列表:x0𝜋2π3𝜋22πy=sinx010-10y=Asinx+bbA+bb-A+bb(2)描点:在平面直角坐标系中描出(0,b),ቀπ2,𝐴+𝑏ቁ,(π,b),ቀ3π2,-𝐴+𝑏ቁ,(2π,b)五个点.(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.题型一题型二题型三【变式训练1】用“五点法”作出函数y=1+sinx在区间[0,2π]上的简图.解:①列表:x0𝜋2π3𝜋22πsinx010-101+sinx12101②描点:在平面直角坐标系中描出(0,1),ቀπ2,2ቁ,(π,1),ቀ3π2,0ቁ,(2π,1)五个点.③连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,得到函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的简图,如图.题型一题型二题型三题型二利用正弦线求角的范围【例2】利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合:(1)sinα=12;(2)sinα≤-12;(3)sinα≥ξ32.分析:先借助单位圆作出正弦线,然后找出符合条件的角的集合.解:(1)如图①.故使sinα=12的α的集合为ቄ𝛼ቚ𝛼=π6+2𝑘π或𝛼=5π6+2𝑘π,𝑘∈Zቅ.图①题型一题型二题型三(2)如图②.在Rt△OMP中,|OP|=1,|MP|=12,∴∠MOP=π6.故使sinα≤-12的α的集合为ቄ𝛼ቚ2𝑘π-5π6≤𝛼≤2𝑘π-π6,𝑘∈Zቅ.(3)如图③.使sinα≥ξ32的α的集合为ቄ𝛼ቚ2𝑘π+π3≤𝛼≤2𝑘π+2π3,𝑘∈Zቅ.图②图③题型一题型二题型三反思注意终边相同的角的表示方法及角的旋转方向.题型一题型二题型三【变式训练2】利用正弦函数线解不等式12≤sinx≤ξ22.答案:ቂ2𝑘π+π6,2𝑘π+π4ቃ∪ቂ2𝑘π+3π4,2𝑘π+5π6ቃ(k∈Z).题型一题型二题型三题型三正弦曲线的应用【例3】判断方程x+sinx=0的根的个数.分析:转化为判断函数y=-x和y=sinx的图像的交点个数.解:在同一平面直角坐标系中画出y=-x和y=sinx的图像,如图所示.由图知y=-x和y=sinx的图像仅有一个交点,则方程x+sinx=0仅有一个根.反思关于方程根的个数问题,往往是运用数形结合法构造函数,转化为函数图像交点的个数问题.题型一题型二题型三【变式训练3】将本例中的方程改为“x2-sinx=0”,试判断根的个数.解:在同一平面直角坐标系中画出y=x2和y=sinx的图像,如图所示.由图知y=x2和y=sinx的图像有两个交点,则方程x2-sinx=0有两个根.12341用五点法画y=2sinx的图像时,首先描出的五个点的横坐标是()A.0,π2,π,3π2,2πB.0,π4,π2,3π4,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,π6,π3,π2,2π3答案:A12342函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图像是()答案:B1234...
