偏导数与全微分(1)VIP免费

3第3节偏导数与全微分请同学们认真复习一元函数导数、微分基础知识。加一个作业：默写求导基本及全部法则公式。3.1偏导数的定义我们讨论多元函数的偏导数．定义3.1’设函数在定点的某领域内有定义．(1)固定只让变化，得一个一元函数，如果在处不可导，就说函数在处关于不可偏导；如果在处可导，就说函数在处关于可偏导，此时称为函数在点处关于变量的偏导数．记作，，或等，即等．(2)固定只让变化，得一个一元函数，如果在处不可导，就说函数在处关于不可偏导；如果在处可导，就说函数在处关于可偏导，此时称为函数在点处关于变量的偏导数．记作，，或等，即等．定义3.1设函数在定点的某领域内有定义．当固定，而在处取得增量时，函数相应地取得增量，称其为函数在处关于的偏增量．若极限(3.1)存在，则称此极限为函数在点处关于变量的偏导数．记作6离散数学，，或等．类似地，若固定，函数相应于变量的偏增量为，若极限(3.2)存在，则称此极限为函数在点处关于变量的偏导数．记作：，，或等．若函数在点处关于,的偏导数都存在，则称函数在处可偏导．若函数在区域中的每一点都是可偏导的，则称函数在中可偏导．这些偏导数仍是,的函数，称它们为的偏导函数，简称偏导数．记作,；,；,；,等．定理3.0定义3.1和定义3.1’是等价的。证根据定义3.1’和一元函数导数概念的定义，（关于完全类似）故定义3.1和定义3.1’是等价的。（看情况，有时用定义3.1而有时用定义3.1’。）定义3.n’设函数在定点的某领域内有定义．固定只让变化，得一个一元函数，如果在处不可导，就说函数在处关于不可偏导；如果在处可导，就说函数在处关于可偏导，此时称为函数在点处关于变量的偏导数．记作，，或等，即等．（）21第1章集合定义3.n设函数在定点的某领域内有定义．当固定，而在处取得增量时，函数相应地取得增量，称其为函数在处关于的偏增量．若极限存在，则称此极限为函数在点处关于变量的偏导数．记作，，或等．（）定理3.n定义3.n和定义3.n’是等价的。证与定理3.0的证明类似。类似地，可讨论元函数在维区域中是否可偏导，有时也有偏导函数，简称偏导数．从定义中可看到，在讨论多元函数的偏导数时，我们只是让一个自变量变化，而固定其余的变量．换句话说，即将多元函数视为某一个变量的一元函数，再考虑其求导数的问题．因此，计算多元函数的偏导数并不需要新的计算公式和方法，只需要注意在计算过程中函数是视为哪个变量的一元函数就行了．（不熟练一元函数求导的同学要注意复习了！！）（加一个作业：默写全部求导公式（包括求导法则公式）。）思考题：１．计算偏导数时，能否先将代入，再对求导？（可以。）２．二元函数的偏导数是几元函数，它的自变量是什么？（二元函数，自变量也是。）【例3.1】求在点(1,1)处的偏导数.解(如果按照定义3.1’，)将视为常量，对求导，得；将视为常量，对求导，得；6离散数学所以；．【例3.2】设，求，，．解视,为常数，对求导，得；视,为常数，对求导，得；视,为常数，对求导，得．21第1章集合【例3.3】设，求的偏导数．解当时，，；当时，由偏导数的定义得，；（如果按照定义3.1’，）所以；．注意：由例2.3知，不存在，故在点不连续．由此例可知，对于多元函数来说，函数在某点处可偏导不能保证它在此点处是连续的，这与一元函数中关于函数的可导性与连续性之间的关系是不同的．思考题：3．二元函数在点处的两个偏导数，存在，为什么不能推出在该点连续？（因为只与某两线段有关，与附近的四块都无关。而连续必须全面保证。）4．考查函数在原点处的连续性与可导性．6离散数学（，在原点处不连续。原点处，都存在。）【例3.4】设不为零的变量,,满足方程（常数），证明：．证求时，把当作函数，和是自变量。将方程变形为，则有；同理，求时，把当作函数，和是自变量。将方程变形为，则有；求时，把当作函数，和是自变量。将方程变形，得；所以．（魔术：把已证明的等式约简得。问题在哪里？偏导数记号与一元函数的导数记号间的一个本质区别：对于一元函数而言，可以看作是两个微分之商，而多元函数的偏导数或是一个整体的记号，不能当作分数！）21第1章集合3.2...