数学史的发展和其它学科有着许多相同的地方，即存在许多奇异的想法或追求完美的理想，其原因在于或者理论知识发展的局限性，或者社会制度、宗教等的因素。但是这些思想的出现对于推动数学的进步是积极的。在中学我们就知道，几何作图严格局限于圆规和无尺度直尺。这种限制从古希腊一直延续至今。为什么？古希腊认为，所有图形都是由直线和圆弧构成的，圆是最完美的图形。他们确信仅靠圆规和直尺就可以绘出图形来。他们还认为，依据少量假设，通过逻辑把握的东西最可靠。如求线段AB的中点步骤为：1、以A为圆心，以一适当的长度为半径画弧；2、以B为圆心，以同样长度的半径画弧；3、两弧交于两点，作两点连线，其与AB的交点即为AB的中点。ABC人们很快找到了正三、四、五、六边形的尺规作图的方法，然而在正七边形的尺规作图时，一直研究了2000多年！17世纪，法国业余数学家费马提出了猜想：形如Fi=22i+1是素数！i=0,1,2,3,4时Fi是的确如此。而i=5时F5是不是素数则在差不多100年后才由伟大的欧拉证明它不是素数！F5=641×6700417.看来，验证一个大数是否为素数是一个多么困难的事啊！迄今为止，人们只知道F1,F2,F3,F4,F5是素数。人们又猜想费马素数只有有限个，但仍是一个未解问题。在欧拉之后60年，德国数学家高斯20岁时发现了正多边形的边数是费马素数时是可以用尺规作图的，并且得到一般性结论：正n边形可尺规作图的充分必要条件是：由此我们知道正7边形是不可以尺规作图的！因为7不是费马素数。121222kkssnnpppppp或其中，，，是费马素数。而正17边形（属于高斯，80多页），正257边形（200多页）是可以用尺规作图的。高斯的墓碑上刻着一个正17边形。大家可以验证3，5，17，257是否为费马素数。古希腊流传下来的还有三大几何作图难题：1、化圆为方：=2、倍立方问题：=3、三等分角问题。它们的解决实际上都促进了几何与代数，也就是现在的解析几何的产生与发展。上述三个问题都是不可能的！1、化圆为方，因为π是超越无理数。是不可作几何量。2、倍立方问题。因为是不可作几何量。3、三等分角问题。以60度角为例，可得到代数方程3231430,2yyy是不可作几何量。前面已经提到，古希腊的几大几何难题都是借助于代数方法得到解决的。实际上，从公元前到公元16世纪，几何与代数各自并行发展着。表面上看，几何似乎是关于形的科学而与数无关，代数似乎是关于数的科学而与形无关。代数与几何难以联系的原因是：人们心目中的数是相互孤立的，难以从数想到由无穷多个点构成的线等图形。而对于形来说，例如线段或封闭图形，它们与数的联系也只限于长度与面积，难以从图形想到数的能力。人们从“运动”的角度来联系数与形的：决定性的工具是建立了坐标系，点数。点的运动形成了线，线的运动形成了体......。数与形的充分结合才产生了解析几何。解析几何的主要创始人是笛卡儿！在笛卡儿之前，就已经出现了代数与几何的结合，即解析几何的萌芽.我们来看一个例子。求比例中项问题。求给定长度AB与AC的比例中项。若AB=AC，那么他们本身就是比例中项，否则，可设AB
