几何体的表面积【例1】斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长等于a的正三角形，侧棱长等于b.一条侧棱AA1和底面相邻的两条边AB，AC都成45°角，求这个斜三棱柱的侧面积．【解析】如图，由于侧棱AA1和底面相邻的两条边AB，AC都成45°角，所以点A1在底面ABC内的射影O在∠BAC的平分线AD上．由于底面ABC是正三角形，所以BC⊥AD，即BC⊥AO.1111111.45·sin4522222(2+1).BBCCabAAABACSAABBSAACCababSababab故侧面是矩形，其面积等于又因为侧棱和底面相邻的两条边，都成角，所以四边形＝四边形＝＝，故这个斜三棱柱的侧面积＝＋＝由于给出的棱柱不是正棱柱，所以在求侧面积时，应对每一个侧面的面积分别进行计算．本题的关键是判断侧面BB1C1C的形状，其中应用了非常重要的结论：从角的顶点出发的一条射线，如果它和角的两边所成的角相等，那么这条射线在角所在平面内的射影在角的平分线上．(自己证明)【变式练习1】在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，且AA1与AC，AB所成的角均为60°，且A1A＝AB，求该三棱柱的侧面积．111111111111111111222.60...//.22sin60(13).AOABCOAAACABAAABOABCAOBCAOBCAOAOOBCAAOAAAAOBCAAAABBBCBBBCCBSSAABBSBCCBaaa侧作底面于因为与，所成的角均为，且＝，所以是的中心，所以又，且＝，从而平面又平面，所以而，故所以侧面是矩形，所以＝四边形＋矩形＝＋＝＋【解析】几何体的体积【例2】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，Q是AD的中点．求三棱锥C－PBD的体积．2.42311164233.323CPBDPBCDQADPADPQADPADABCDPQABCDADPQCPBDVV－－因为为的中点，为正三角形，所以，因为平面平面，所以平面因为＝，所以＝；所以三棱锥－的体积为＝＝【解析】若用直接法求三棱锥C－PBD的体积，就必须求C到平面PBD的距离，显然这是比较困难的．一般来讲，当直接法求距离(高)遇到较大阻力时，往往可以轮换三棱锥中的顶点，将底面和高转化为题目已知或容易求解的问题，这是解决求高或体积问题时常用的思路．【变式练习2】将棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中截去一角B1—A1BC1，求三棱锥B1—A1BC1的体积，并求三棱锥B1—A1BC1的高．11111111211111111——111111=.326233(2).42—11—361313h=.3263VBABCVBABCABCBABChVBABCSABChh如图，＝＝因为正三角形的边长为，所以其面积为设三棱锥的高为，则＝＝，所以，解得】＝【解析空间几何体的内接、内切、外接问题【例3】如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？2222max.2.().2()2()022()[()]24(212).2rSrxrHxRrHxRHHRSxHxHRxHxxHHRRHHSxHxxHHHRHxS圆柱侧圆柱侧圆柱侧圆柱侧设内接圆柱的底面半径为＝①因为，所以＝②将②代入①得＝＝－＋．因为＝－＋＝－－＋【解析】，所以，当＝时，＝圆锥的内接问题，一般都要借助于三角形的相似找到变量之间的比例关系，将未知的变量转化为已知变量来解决．圆柱、圆锥的表面积和体积求解的关键是求出底面半径、母线长和高，再准确运用公式进行计算．而求最大、最小值的问题，往往都是转化为某个变量的函数，再运用相关函数的图象和性质求解即可．【变式练习3】求棱长为1的正四面体的外接球的半径R.2222331=.332366Rt.33ABCDAAHHHOOBHCDEBOBOAORBHBEABHAHABBHOHR如图，在正四面体中，过作垂直于底面，垂足是，则为底面正三角形的中心．设其外接球的球心为，则必为正四面体的中心．连结，并延长交于，连结，则＝＝，＝＝在中，【＝＝，＝】－解析22222——Rt63261,33326610.34443366.412434ABCDOBCDBOHRBOOHBHRRRRRVVAHOHRAOAH方法：方法在中，＝＝＝＝两边平方得－＝，解得＝由＝，得＝，即＝＝＝＝：223262243.R将正四面体放到正方体中，得正方体的棱长为，且正四面体的外接球即正方体的外接球，所以＝＝方法：1.43若一个球的体积为，则它的表面积为________.12π3244333412.VRRSR球表因为＝＝，所以＝，则＝＝【解析】...
