第二节等差数列知识自主·梳理最新考纲1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题．高考热点1.以选择题或填空题的形式考查等差数列的基本运算．2．以考查等差数列的通项公式及性质为主，同时考查等差数列的函数性.1.等差数列的定义如果一个数列，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.从第二项起每一项与它相邻前面一项的差是同一个常数公差dan＝a1＋(n－1)d3．等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋，(m，n∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是．(5)若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为的等差数列．(n－m)dak＋al＝am＋an2d等差数列md数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的，即Sn＝．二次函数且不含常数项An2＋Bn，(A2＋B2≠0)Sn＝An2＋Bn中常数项为0是其重要特征．如：设数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数且a≠0)，试判断数列{an}是不是等差数列．解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝a＋b＋c.①当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn＋c－a(n－1)2－b(n－1)－c＝2an－a＋b.②这时an＋1－an＝2a(n＋1)－a＋b－2an＋a－b＝2a.③即n≥2时，{an}是公差为2a的等差数列．为了使数列{an}为等差数列，必须在n＝1时③式也成立，重点辨析即要2a·2－a＋b－(a＋b＋c)＝2a，∴c＝0.综上所述，当c＝0时，{an}是等差数列；当c≠0时，{an}不是等差数列．但它从第2项开始即n≥2时，{an}是等差数列．题型一等差数列的判断与证明思维提示①利用定义：an＋1－an＝d(常数)②利用等差中项：2an＝an＋1＋an－1(n≥2)例1(2010·广州质检)已知数列{an}中，a1＝35，数列an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．[解](1) bn＝1an－1＝1(2－1an－1－1)＝an－1an－1－1，而bn－1＝1an－1－1，∴bn－bn－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1(n∈N*且n≥2)，而b1＝1a1－1＝－52，∴{bn}是首项为－52，公差为1的等差数列．(2)由(1)得bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.设函数f(x)＝1＋22x－7，则f′(x)＝－4(2x－7)2＜0，∴在区间(－∞，72)和(72，＋∞)内f(x)为减函数．∴当x≤3时，f(x)≥f(3)＝－1；当x≥4时，f(x)≤f(4)＝3时，∴an的最小值为a3＝－1，最大值为a4＝3.[规律总结]判断或证明数列是等差数列的方法有：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列.备选例题1已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n≥2)，令bn＝1an－2.求证：数列{bn}是等差数列．例2在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；(2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.[分析]在等差数列中有五个重要的量，即a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个．其中a1和d是两个最重要的量，通常要先求出a1和d.题型二等差数列基本量的运算思维提示①等差数列的前n项和公式②等差数列的通项公式[解](1)解法一：设首项为a1，公差为d，依条件得33＝a1＋14d153＝a1＋44d，解方程组得a1＝－23d＝4.∴a61＝－23＋(61－1)×4＝217.解法二：由d＝an－amn－m，得d＝a45－a1545－15＝153－3330＝4，由an＝am＋(n－m)d，得a61＝a45＋16d＝153＋16×4＝217.(2) Sn＝na1＋12n(n－1)d，∴8a1＋28d＝4812a1＋66d＝168，解方程组得a1＝－8d＝4.(3) a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝105a1＋10d＝5，解方程组得a1＝...
