第二节等差数列知识自主·梳理最新考纲1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.高考热点1.以选择题或填空题的形式考查等差数列的基本运算.2.以考查等差数列的通项公式及性质为主,同时考查等差数列的函数性.1.等差数列的定义如果一个数列,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,通常用字母表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是.从第二项起每一项与它相邻前面一项的差是同一个常数公差dan=a1+(n-1)d3.等差中项如果,那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+,(m,n∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}是.(5)若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为的等差数列.(n-m)dak+al=am+an2d等差数列md数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)是n的,即Sn=.二次函数且不含常数项An2+Bn,(A2+B2≠0)Sn=An2+Bn中常数项为0是其重要特征.如:设数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数且a≠0),试判断数列{an}是不是等差数列.解析:(1)当n=1时,a1=S1=a+b+c.①当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an2+bn+c-a(n-1)2-b(n-1)-c=2an-a+b.②这时an+1-an=2a(n+1)-a+b-2an+a-b=2a.③即n≥2时,{an}是公差为2a的等差数列.为了使数列{an}为等差数列,必须在n=1时③式也成立,重点辨析即要2a·2-a+b-(a+b+c)=2a,∴c=0.综上所述,当c=0时,{an}是等差数列;当c≠0时,{an}不是等差数列.但它从第2项开始即n≥2时,{an}是等差数列.题型一等差数列的判断与证明思维提示①利用定义:an+1-an=d(常数)②利用等差中项:2an=an+1+an-1(n≥2)例1(2010·广州质检)已知数列{an}中,a1=35,数列an=2-1an-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=1an-1(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}中的最大项与最小项,并说明理由.[解](1) bn=1an-1=1(2-1an-1-1)=an-1an-1-1,而bn-1=1an-1-1,∴bn-bn-1=an-1an-1-1-1an-1-1=1(n∈N*且n≥2),而b1=1a1-1=-52,∴{bn}是首项为-52,公差为1的等差数列.(2)由(1)得bn=n-72,则an=1+1bn=1+22n-7.设函数f(x)=1+22x-7,则f′(x)=-4(2x-7)2<0,∴在区间(-∞,72)和(72,+∞)内f(x)为减函数.∴当x≤3时,f(x)≥f(3)=-1;当x≥4时,f(x)≤f(4)=3时,∴an的最小值为a3=-1,最大值为a4=3.[规律总结]判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列;(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列;(3)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列;(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列.备选例题1已知数列{an}满足a1=4,an=4-4an-1(n≥2),令bn=1an-2.求证:数列{bn}是等差数列.例2在等差数列{an}中,(1)已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知S8=48,S12=168,求a1和d;(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.[分析]在等差数列中有五个重要的量,即a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个,就可求出其他两个.其中a1和d是两个最重要的量,通常要先求出a1和d.题型二等差数列基本量的运算思维提示①等差数列的前n项和公式②等差数列的通项公式[解](1)解法一:设首项为a1,公差为d,依条件得33=a1+14d153=a1+44d,解方程组得a1=-23d=4.∴a61=-23+(61-1)×4=217.解法二:由d=an-amn-m,得d=a45-a1545-15=153-3330=4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.(2) Sn=na1+12n(n-1)d,∴8a1+28d=4812a1+66d=168,解方程组得a1=-8d=4.(3) a6=10,S5=5,∴a1+5d=105a1+10d=5,解方程组得a1=...