高中数学 2.5 等比数列的前n项和 第2课时课件 新人教A版必修5 课件VIP免费

第2课时等比数列前n项和的性质1．数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…，仍构成，且有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．若q＝－1，则n为偶数时，上述性质不成立．2．若数列{an}的前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，则{an}为．等比数列等比数列3．在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则S偶÷S奇＝q.4．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋mSn＋qn·Sm.＝1．在等比数列{an}中a1＝8，q＝12，an＝12，则Sn等于()A．31B.312C．8D．15解析：Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q＝8－12×121－12＝312.答案：B2．等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4为()A．28B．32C．35D．49解析： S2，S4－S2，S6－S4成等比数列∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4)∴(S4－7)2＝7(91－S4)∴S4＝28.选A.答案：A3．在等比数列中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝()A.B.C.D.解析：由a2＋a3＋a4a1＋a2＋a3＝a21＋q＋q2a11＋q＋q2＝a2a1＝q＝－12，又由a1＋a2＋a3＝6，且q＝－12，∴a1＝8，可得a2＝a1q＝8×(－12)＝－4，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝a11－q71－q－8－(－4)＝118.答案：A4．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9…＋＋a99＝________.解析：S99＝a11－q991－q＝a1(299－1)＝56，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a1·22299－123－1＝56×47＝32.答案：325．已知实数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n＝1,2,3…，)．解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R)，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)．即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．所以q＝12.故an＝a1qn－1＝q－6qn－1＝64(12)n－1.(2)Sn＝a11－qn1－q＝64[1－12n]1－12＝128[1－(12)n]<128.[例1]在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.[分析]用求和公式直接求解或用性质求解．[解]解法1： S2n≠2Sn，∴q≠1.由已知得a11－qn1－q＝48，①a11－q2n1－q＝60，②由②÷①，得1＋qn＝54，即qn＝14，③将③代入①，得a11－q＝64，∴S3n＝a11－q3n1－q＝64(1－143)＝63.解法2： {an}为等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，∴S3n＝S2n－Sn2Sn＋S2n＝60－48248＋60＝63.[点评]通过两种解法比较可看出，利用等比数列的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．迁移变式1已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.解：方法1：设公比为q，则a11－q101－q＝10①a11－q201－q＝30②②①得1＋q10＝3，∴q10＝2，∴S30＝a11－q301－q＝a11－q101－q(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.方法2： S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，∴S30－S20＝S30－30＝30－10210，即S30＝70.[例2]等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.[分析]本题考查了等比数列前n项和的性质．根据题意列出方程求出S奇、S偶，再由S偶S奇求得公比q.[解]由题意知：S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160.∴公比q＝S偶S奇＝－160－80＝2.[点评]本题应用等比数列前n项和的性质使问题迎刃而解．迁移变式2一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解：设等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)，由已知，a1＝1，q≠1，且有1－q2n1－q2＝85，①q1－q2n1－q2＝170.②②÷①得q＝2.将q＝2代入①得1－4n1－4＝85，∴4n＝256，∴n＝4.∴公比q＝2，项数为8.[例3]银行按规定每经过一定时间(贷款利率中的时间间隔)结算贷款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性...