2．2.3待定系数法知识整合1．待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：(1)设出含有待定系数的函数解析式；(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数．(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．名师解答几种基本初等函数的解析式：(1)正比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0，k是常数)，给定(x，y)的一组非零值即可求出待定系数k的值．(2)一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)，给定两组(x，y)的值即可求出待定系数k，b的值．(3)反比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0，k是常数)，给定(x，y)的一组非零值即可求出待定系数k的值．(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式．①一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这是二次函数的标准表达式．在此解析式中有三个待定的系数a、b、c，给定抛物线上三个点的坐标，列出关于a、b、c的三元一次方程组，即可求出待定系数a、b、c的值；②顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点．当已知抛物线的顶点坐标或对称轴，能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简捷．加上其他条件确定a的值，即可求出函数的解析式；③零点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2就是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即抛物线与x轴两交点的横坐标，也叫做函数的零点，当题中已知抛物线与x轴交点的坐标时，设出零点式解题比较简单．当选用顶点式或零点式求二次函数解析式时，最后的结果通常要化为一般式．深入学习题型一待定系数法的简单应用【例1】已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点坐标是(1,4)，求另一点的坐标．分析：首先将点(1,4)的坐标分别代入抛物线和直线的解析式，求出a和k的值，再将两式联立求交点坐标．解： 抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1的一个交点为(1,4)，4∴＝a,4＝k＋1，∴a＝4，k＝3.∴y＝4x2，y＝3x＋1，∴y＝4x2，y＝3x＋1.解得x1＝1，y1＝4；x2＝－14，y2＝14.∴另一个交点为(－14，14)．评析：要注意代入消元法的使用，求解要准确、迅速．变式训练1已知函数f(x)＝x2ax＋b(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.求函数f(x)的表达式．分析：欲求f(x)表达式，先求出a，b的值．解： f(x)－x＋12＝0的二根为x1＝3，x2＝4.∴f(3)＋9＝0，f(4)＋8＝0，即93a＋b＋9＝0，164a＋b＋8＝0，∴a＝－1，b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2＝x22－x.题型二确定一次函数的解析式【例2】已知一次函数的图象与x轴交于点A(6,0)，又与正比例函数图象交于点B，点B在第一象限且横坐标为4，如果△AOB(O为原点)的面积为15，求这个正比例函数和一次函数的解析式．分析：首先设出正比例函数和一次函数的解析式，再结合图形求出待定系数．解： 点B在第一象限，且横坐标为4，∴设B(4，m)(m>0)，由草图可知S△AOB＝12·OA·m，15∴＝12×6·m，m＝5.设正比例函数和一次函数解析式分别为y＝k1x和y＝k2x＋b.把B(4,5)代入y＝k1x，得k1＝54，∴y＝54x.把B(4,5)、(6,0)代入y＝k2x＋b，得4k2＋b＝5，6k2＋b＝0.解得k2＝－52，b＝15.∴y＝－52x＋15.评析：①要注意题目中出现两条直线时，它们的斜率的设法分别是k1，k2.②能够结合图形的问题要注意数形结合，有助于提高解题速度和正确率．变式训练2已知f{f[f(x)]}＝27x＋13，求f(x)．分析：复合函数不改变f(x)的次数，可判断f(x)的类型是一元二次函数．解：设f(x)＝ax＋b，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋b(a＋1)，f{f[f(x)]}＝f[a2x＋b(a＋1)]＝a[a2x＋b(a＋1)]＋b＝a3x＋b(a2＋a＋1)．∴a3x＋b(a2＋a＋1)＝27x＋13.∴a3＝27，b(a2＋a＋1)＝13.解得a＝3，b＝1.∴f(x)＝3x＋1.题型三确定二次函数的解析式【例3】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)与(2,5)两点．(...
