第70讲轨迹与轨迹方程的求法【学习目标】1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法．3．能熟练地运用直接法、定义法、代数法、参数法等方法求曲线的轨迹方程．【基础检测】1．与两点(－3，0)，(3，0)距离的平方和等于38的点的轨迹方程是()A．x2－y2＝10B．x2＋y2＝10C．x2＋y2＝38D．x2－y2＝38【解析】设点(x，y)，由条件得(（x＋3）2＋y2)2＋(（x－3）2＋y2)2＝38，化简得x2＋y2＝10.B2．已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【解析】设Q(x0，y0)，则x0＝x＋y，①y0＝xy，②①2－2×②得x02－2y0＝(x＋y)2－2xy，即x02－2y0＝x2＋y2，又P(x，y)满足x2＋y2＝1，∴x02－2y0＝1，即y0＝12x02－12，故所求轨迹为抛物线．B3．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．x2－y28＝1(x＞1)B．x2－y28＝1(x＜－1)C．x2＋y28＝1(x＞0)D．x2－y210＝1(x＞1)【解析】设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|，所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．设其方程为x2a2－y2b2＝1(x＞0)，则a＝1，c＝3，∴b2＝8.故所求方程为x2－y28＝1(x＞0)．C4．设A1，A2是椭圆x29＋y24＝1的长轴端点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.x29＋y24＝1B.y29＋x24＝1C.x29－y24＝1D.y29－x24＝1C【解析】由已知A1(－3，0)，A2(3，0)，设P1(x1，y1)，则P2(x1，－y1)，A1P1与A2P2的交点为P(x，y)，则x129＋y124＝1，得y12x12－9＝－49，①由A1，P1，P三点共线，得y1x1＋3＝yx＋3，②又A2，P2，P三点共线，得－y1x1－3＝yx－3，③②×③得－y12x12－9＝y2x2－9，将①式代入得y2x2－9＝49，即x29－y24＝1，故选C.【知识要点】1．曲线的方程、方程的曲线的定义如果曲线上的点与方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标__________________________(称曲线具备了纯粹性)；(2)以这个方程的解为坐标的点_______________(称曲线具备了完备性)．那么，我们就称曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.2．直接法求动点轨迹方程的步骤(1)建立适当的坐标，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明方程的解为坐标的点都在曲线上．都是这个方程的解都在曲线上3．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点(x，y)的解析式．(2)定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程．(3)代入法：如果轨迹动点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程，这种求轨迹的方法也叫做转移法．(4)参数法：如果轨迹动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程．参数法中常选角、斜率等为参数．4．“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系一般说来，若是求“轨迹方程”，求得方程就可以了；若是求“轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，“轨迹”与“轨迹方程”是两个有相关性的不同概念．一、直接法及应用例1已知点C(1，0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足AC→·BC→＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】(1)连接CP、OP，由AC→·BC→＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝12|AB|.由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，...
