专题八系列4选讲§1几何证明选讲真题热身1．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.解析 AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝82.又 AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝BEDC，∴BE＝AB·DCAD＝6×8212＝42.422．(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．证明如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝π2.所以BD∥CE，于是ABAC＝ADAE＝2r12r2＝r1r2.所以AB∶AC为定值．考点整合1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．2．平行截割定理(平行线分线段成比例定理)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．4．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．6．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．7．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．8．圆内接四边形的性质定理(1)圆的内接四边形的对角互补．(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．9．圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．10．圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．11．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．12．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．13．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．14．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．分类突破一、相似三角形与比例线段例1如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.证明过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN＝12BF. DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴AEAF＝DEDN.又DN＝12BF，∴AEAF＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF.归纳拓展有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．变式训练1如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，过D与BC平行的直线交AB于点E，交AC于F点，∠ACE＝∠B，求证：AB·CE＝AC·DE.证明方法一 AB∥CD，∴EACD＝AFCF，即EAAF＝CDCF.① DE∥BC，∴AFAC＝AEAB，即EAAF＝ABAC.②由①②得CDCF＝ABAC，③ ∠FDC＝∠ECF，∠DEC＝∠FEC，∴△EFC∽△ECD.∴CDCF＝DECE.④由③④得ABAC＝DECE，即AB·CE＝AC·DE方法二 AB∥CD，DE∥BC，∴BEDC是平行四边形．∴DE＝BC. ∠ACE＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC，∴△AEC∽△ACB.∴BCCE＝ABAC.∴ABAC＝DECE，即AB·CE＝AC·DE.二、与圆有关的比例线段例2如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA；(2)△EFG∽△CFE.证明(1) EF∥CB，∴∠DEF＝∠DCB. ∠DCB和∠DAB都是弧DB上的圆周角，∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF. ∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知：△DFE∽△EFA，∴EFFA＝FDEF，即EF2＝FA·FD.由割线定理得FA·FD＝FG·FC.∴EF2＝FG·FC...
