第2讲数列求和及数列的综合应用感悟高考明确考向(2010·山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋n(n－1)2×2＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1a2n－1＝1(2n＋1)2－1＝14·1n(n＋1)＝14·1n－1n＋1，所以Tn＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14·(1－1n＋1)＝n4(n＋1)，即数列{bn}的前n项和Tn＝n4(n＋1).考题分析本题主要考查了等差数列的定义、通项公式以及前n项和Sn的求法．第(1)问突出考查数列的基本量法和公式法．第(2)问突出考查裂项相消求和法．易错提醒(1)不能准确选择基本量，求不出a1和公差d.(2)bn化简不准确，不能正确将bn进行裂项．主干知识梳理1．等差、等比数列的求和公式(1)等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋n(n－1)2·d＝n(a1＋an)2.(2)等比数列前n项和公式：①q＝1时，Sn＝na1；②q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q.2．数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．3．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式．热点分类突破题型一错位相减法求数列的前n项和例1已知当x＝5时，二次函数f(x)＝ax2＋bx取得最小值，等差数列{an}的前n项和Sn＝f(n)，a2＝－7.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝an2n，求Tn.思维启迪(1)由对称轴得－b2a＝5，由an＝Sn－Sn－1求an.(2)用错位相减法求Tn.解(1)由题意得：－b2a＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2an＋b－a＝2an－11a. a2＝－7，得a＝1.∴a1＝S1＝－9，∴an＝2n－11.(2)bn＝2n－112n，∴Tn＝－92＋－722＋…＋2n－112n，①12Tn＝－922＋…＋2n－132n＋2n－112n＋1，②①－②得12Tn＝－92＋222＋…＋22n－2n－112n＋1＝－92＋12(1－12n－1)1－12－2n－112n＋1＝－72－12n－1－2n－112n＋1.∴Tn＝－7－2n－72n.探究提高错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征．即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．变式训练1(2010·全国)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．题型二裂项相消法求数列的前n项和例2等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn...
