利用基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222Rbabaababba当且仅当 a = b 时， “ =”号成立；②，、)(222Rbabaababba当且仅当 a = b 时， “ =”号成立；③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当 a = b = c 时, “ =”号成立；④)(3333Rcbacbaabcabccba、、,当且仅当 a = b = c 时, “ =”号成立 . 注： ① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二 “定 ”、三 “等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、函数( )(0)bf xaxabx、图象及性质(1)函数0)(baxbaxxf、图象如图：(2)函数0)(baxbaxxf、性质：①值域：),2[]2,(abab；②单调递增区间：(,]ba， [,)ba；单调递减区间：(0,]ba， [, 0)ba. 三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。例 1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。解析：21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时， “=”号成立，故此函数最小值是52。评析： 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。例 2、求下列函数的最大值：①23(32 )(0)2yxxx②2sincos (0)2yxxx解析： ①30,3202xx∴，∴23(32 )(0)(32 )2yxxxx xx3(32 )[]13xxx，当且仅当3 2xx即1x时， “= ”号成立，故此函数最大值是1。②0,sin0,cos02xxx∴，则0y，欲求 y 的最大值， 可先求2y 的最大值。242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos )2xxx22231 sinsin2cos4()2327xxx, 当且仅当22sin2cosxx (0)2xtan2x，即tan 2xarc时 “=”号成立，故此函数最大值是2 39。评析： 利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。例 3、若 x、yR ，求4( )fxxx)10(x的最小值。解法一 ：（单调性法）由函数( )(0)bf xaxabx、图象及性质知，当(0,1]x时，函数4()fxxx是减函数。证明：任取12,(0,1]xx且1201xx，则12121244()()()()fxfxxxxx211212()4 xxxxx x1212124()x xxxx x， 1201xx，∴12121240,0x xxxx x，则1212()()0()()fxfxfxfx，xabab2ab2aboy即4( )fxxx在 (0,1]...
