第七节 数学归纳法（理）一、数学归纳法的适用对象 数学归纳法是用来证明关于与 有关命题的一种方法，若 n0 是起始值，则 n0 是 ． 正整数 n使命题成立的最小正整数二、数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：1 ．当 n ＝ 时，验证命题成立；2 ．假设 n ＝ 时命题成立，推证 n ＝ 时 命题也成立，从而推出命题对所有的 命 题成立，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者 缺一不可．k ＋ 1从 n0 开始的正整数 nn0(n0N*)∈k(k≥n0 ， kN*)∈数学归纳法的两个步骤各有何作用？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推 . 两者缺一不可 . 1. 数学归纳法适用于证明什么类型的命题 ( ) A. 已知结论 ⇒B. 结论已知⇒ C. 直接证明比较困难 D. 与正整数有关答案： D2. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n － 3) 条时， 第一步检验 n 等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0解析：边数最小的凸多边形是三角形 .答案： C123. 已知 f(n) ＝ ，则 ( ) A.f(n) 中共有 n 项，当 n ＝ 2 时， f(2) ＝ B.f(n) 中共有 n ＋ 1 项，当 n ＝ 2 时， f(2) ＝ C.f(n) 中共有 n2 － n 项，当 n ＝ 2 时， f(2) ＝ D.f(n) 中共有 n2 － n ＋ 1 项，当 n ＝ 2 时， f(2) ＝解析：项数为 n2 － (n － 1) ＝ n2 － n ＋ 1.答案： D4. 观察下列不等式： 1 ＞ 由此猜测第 n 个不等式为 (n∈N*).解析： 3 ＝ 22 － 1,7 ＝ 23 － 1,15 ＝ 24 － 1 ，可猜测：答案： 1+5. 记凸 k 边形的内角和为 f(k) ，则凸 k ＋ 1 边形的内角和 f(k＋ 1) ＝ f(k) ＋ .解析：由凸 k 边形变为凸 k ＋ 1 边形时，增加了一个三角形，故 f(k ＋ 1) ＝ f(k) ＋ π.答案： π1. 用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其 关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两 边各有多少项，初始 n0 是多少 .2. 由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，除等式两边变化的项外还要充分利 用 n ＝ k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的 步骤，从而使问题得以证明 . 设 f(n) ＝ 1+求证： f(1) ＋ f(2) ＋…＋ f(n － 1) ＝ n·[f(n) － 1](n≥2 ， n∈N*).(N...
